汤 伟 张 旭 刘文波 徐大海 王 杰
（陕西科技大学电气与控制工程学院，陕西西安，710021）
纸张定量控制技术包含纵向定量控制技术和横幅定量控制技术，其中纵向是指纸机运行方向，横幅即为垂直纸机运行方向[1-2]。纵向定量控制技术已逐渐成熟，但是不能保证纸张定量的均匀分布，而实施横幅定量控制技术可以使纸张的匀度更高。但由于稀释水阀执行器之间存在强耦合、系统存在大时滞等特性使得横幅定量控制变的更加困难。工程实践中传统的比例积分微分（PID）控制器参数一般是人为设定，但在面对这种具有不确定性的复杂对象时，难以获得理想的控制效果。有学者采用模糊控制器整定PID参数，虽然提高了系统的抗扰能力，但在面对这种强耦合、大时滞控制对象时，系统动态性能依然不佳[3]。鉴于Smith预估器具有较好的控制效果，同时受模糊控制不需要对控制对象进行精确建模的启发，本课题提出将Smith预估器与模糊自整定PID相结合的控制方案来解决纸张横幅定量控制所存在的控制难题。
本课题首先对带有稀释水水力式流浆箱的长网造纸工艺流程进行阐述，分析纸张横幅定量控制所存在的控制难点。其次建立横幅定量控制过程的数学模型，针对其关联矩阵为非方高维矩阵的特点，使用“区域化点”的方法对系统进行降维，并设计解耦逆矩阵以将系统转换为与稀释水阀数量一致的n个单回路。最后针对解耦后的多个单回路存在大时滞的特性，设计带有反馈滤波器的Smith预估器加模糊自整定PID复合控制方案，并取得良好的控制效果。
图1为稀释水流浆箱定量控制工艺图。如图1所示，在一般的横幅定量控制工艺中，稀释水阀位于纸机头部，沿流浆箱横幅等距安装，定量检测装置（扫描架）则安装在纸机尾部，扫描架上的扫描探头沿纸机横幅往复运动，所采集到的瞬时采样值便是横幅定量数据。稀释水流浆箱的定量调节过程为：当尾部的扫描架检测到某处定量与设定的定量值出现差距时，改变纸机头部的稀释水阀开度，从而相对应的阶梯扩散管的稀释水注入量得到改变，最终产生的效果即为该处的浆料流量与稀释水流量的比率产生变化，即通过调节浆料浓度来达到使该处定量达到设定值的目的。因此采用稀释水流浆箱的横幅定量控制系统存在以下控制难点。
图1 稀释水流浆箱定量控制工艺图[4]Fig.1 Basis weight control process diagram of headbox with dilution water[4]
1.1 非方高维耦合特性
在横幅定量控制系统中，一般沿流浆箱横幅每60 mm安装一支稀释水阀，水阀数量随着纸幅宽度增大而增多，一般在几十到几百只，而纸机尾部的横幅定量数据一般在几百个，甚至数千个，这样就构成了一个非方的高维系统，对非方高维系统进行求解计算量巨大。当改变稀释水阀开度使稀释水阀动作时，由于流体在流动时具有冲击特性，会对该稀释水阀两侧的邻近区域产生影响，即影响邻近区域的定量值，在控制上表现为耦合特性[4]。
1.2 时滞特性
定量检测点位于纸机尾部，稀释水阀位于纸机头部的流浆箱上，数据传输与稀释水阀动作输出之间横跨整个纸机，系统存在较大滞后时间，而滞后时间与纸机长度和定量数值成正比，与纸机车速成反比，在控制上表现出大时滞特性。
传统的控制方式难以解决上述提及的控制难点，因此本课题提出设计一种带有反馈滤波器的Smith预估器的模糊自整定PID控制方案来解决上述存在的控制难题。
对于一套含有m个测量点和n个稀释水阀的横幅定量控制系统，其数学模型如式(1)所示[5]。
式中，Ycd(s)为横幅检测点的输出值；
yi(s)为沿纸机横幅第i（i=1，2，…，n）个检测点的测量定量值；
U(s)为稀释水阀执行输出的控制量；
uj(s)为第j（j=1，2，…，m）个稀释水阀的输出控制量；
Gt(s)为横幅定量控制系统中的关联耦合矩阵；
gij为第j个稀释水阀动作时对下游第i个测量点的影响系数；
g0(s)为稀释水阀输出到纸机尾部检测点之间的传递函数；
T为系统惯性时间常数；
l为系统的滞后时间。
横幅定量系统的关联矩阵是一个m×n的非方矩阵，若想对其求解则需要进行降维化方，才能降低解耦运算量。采用“区域化点”的思想来对系统进行降维，即1只稀释水阀控制1个测量点区域，假设1只稀释水阀影响相邻两侧各d个测量点，则系统的耦合宽度为p=2d+1。若通过引入1个前置矩阵对系统进行降维，降维计算过程如式(2)所示。
式中，gp+1+n/m,i为第i个稀释水阀对应的正下游测量点的位置。则降维后的关联矩阵形式即为式(3)所示。
根据研究发现，某个稀释水阀执行器动作，其对纸机尾部的测量点产生的影响是中心对称的，则有g"ij=g"ji，因此关联矩阵可进一步简化为式(4)。
式中，g"0代表该稀释水阀动作对正下游测量区域的影响系数；
g"q代表该稀释水阀动作对邻侧第q个稀释水阀对应的测量区域的影响系数。
这样，新的关联矩阵维数就变成了与稀释水阀数量一致的方形矩阵，降维后的系统数学模型如式(5)所示。
而降维后的关联矩阵需要对其设计解耦补偿矩阵，将降维后的系统转变成对角系统，这样便可分解成与稀释水阀数量一致的n个单回路，然后对n个单回路分别设置控制器进行控制，使得控制难度大大降低。
设解耦器为N(s)，则解耦后系统的关联矩阵形式如式(6)所示。
根据式(6)计算可得N(s)G"(s)=G0(s)。若G"(s)为非奇异矩阵，则解耦器可设置为N(s)=G"-1(s)，将其设置在被控对象与控制器之间，通过解耦器作用于被控对象，将其转变为具有n个单回路的主对角系统，然后通过控制器完成对n个单回路的单独控制。解耦器的解耦结构如图2所示。
图2 横幅定量系统解耦框图Fig.2 Block diagram of decoupling structure of the cross direction basis weight system
解耦后的系统为与稀释水阀数量一致的n个单回路，由于稀释水阀之间具有相同的物理特性，因此只需完成1个回路的设计，同理便可完成其余回路的设计。
本研究将模糊控制与PID控制相结合，同时对Smith预估器进行改进，即采用改进后的Smith预估器与模糊自整定PID相结合来加强对横幅定量控制系统的大时滞过程的控制效果。图3为系统结构框图。
图3 系统控制框图Fig.3 Block diagram of system control
3.1 带有反馈滤波器的Smith预估器
常规Smith预估器在理想情况下（即Gm(s)e-lms=Gp(s)e-ls）可以完全消除时滞带来的不利影响，但Smith预估器存在的缺点是要求精确建立控制对象的预估数学模型，否则控制效果会大打折扣[6-8]。而在实际应用时，大多控制对象都难以进行精确建模，因此本研究采用带有反馈滤波器的Smith预估器（FuzzyPID-FSmith），其结构图如图4所示。
图4 带有反馈滤波器的Smith预估器结构图Fig.4 Structure of Smith predictor with feedback filter
由结构框图可以推导出输出y(s)到输入r(s)的系统传递函数如式(7)所示。
式中，Gc(s)代表控制器；
e-ls代表被控对象的时滞环节；
Gm(s)代表对象模型不含时滞环节的模型；
Gm(s)e-lms表示预估模型，在理想状况下，它等同于实际过程Gp(s)e-ls。
根据传递函数可以看出，当模型精确时，带有反馈滤波器的系统传递函数相比传统Smith预估器并无区别[9]；
而当模型失配时，相当于在主反馈通道引入一阶滤波器，使得模型失配的误差信号pm(s)经过一阶滤波器的滤波处理后才能反馈到控制器Gc(s)，从而削弱了模型失配产生的模型误差带来对系统的影响。根据研究发现，当模型失配时，若Tm取值过小，虽然调节时间会变快，但同时也产生了一定的超调，系统稳定性变差；
若Tm取值过大，虽然会减小系统的超调量，但反应速度也会变慢。根据多次实验发现，当Tm≥lm时，滤波器才会起到较好的调节效果。因此为了兼顾快速性和稳定性，本研究滤波时间常数取值与滞后时间常数相同，即Tm=lm。
3.2 模糊自整定PID横幅定量控制器设计
本课题所设计模糊控制器的2个输入分别为经过量化因子量化后的横幅定量偏差e(t)=r(t)-y(t)和偏差变化率ec=de(t)dt，输出分别为kP、kI、kD3个参数的调整值，记作ΔkP、ΔkI、ΔkD，纸机尾部所检测到的横幅定量值经过与设定的定量值比较，若存在误差，则计算出该时刻的定量误差以及其变化率，然后输送到模糊控制器中并根据所设计的模糊规则来计算出PID参数的修正量，从而在线调整PID参数来满足系统不同时刻的需求[10-11]。
3.2.1 模糊集、模糊论域及量化因子选取
横幅定量偏差e和ec的基本论域为[-0.5，0.5]，模糊论域可选取为[-3，3]，通过设定量化因子可将基本论域映射到模糊论域范围内，量化因子为：3/0.5=6。
图5为e和ec隶属度函数。由图5可知，e和ec的模糊集分为7个等级，其中NB、NM、NS的含义为负向大、负向中和负向小，分别表示实际定量测量值相比设定的定量值高得多、较高和高一点，ZE表示实际定量测量值与设定的定量值相等，PS、PM、PB的含义为正向大、正向中和正向小，分别表示实际定量测量值相比设定值低一点、较低和低的多。
图5 e和ec隶属度函数Fig.5 Degree of membership function for e and ec
图6为ΔkP、ΔkI、ΔkD的隶属度函数。根据经验输出变量 ΔkP、ΔkI、ΔkD的基本论域选取为[-0.5，0.5]，其模糊论域可取为[-1，1]，那么量化因子均为：0.5/1=0.5。输出变量模糊集同样分为7个等级，其中NB代表参数调整为负向极大，NM代表参数调整为负向适中，NS代表参数调整为负向极小，ZE则代表参数调整为零，PS代表参数调整为正向极小，PM代表参数调整为正向适中，PB代表参数调整为正向极大。
图6 ΔkP、ΔkI、ΔkD隶属度函数Fig.6 Degree of membership function for ΔkP, ΔkI, ΔkD
3.2.2 隶属函数选取
考虑到三角隶属度函数运算简单、内存空间占用小的特点，以及三角函数对系统误差变化反应灵敏、分布均匀[12]，因此本研究的输入输出变量均选取论域均匀划分的三角函数作为隶属函数。
3.2.3 纸张横幅定量控制器模糊规则选取
结合现场参数整定经验以及前人研究，横幅定量系统模糊规则的设定遵循原则如下。
当定量误差较大时，此时以尽快消除定量偏差为主要目标，应该选取较大的ΔkP来尽快到达设定的定量值，为防止出现超调，ΔkI一般取零即可。
当定量误差适中时，此时系统到达响应中期，定量偏差变化率ec为中等大小，为了保证系统的响应速度同时也要减小超调，应该选用较小的ΔkP、ΔkI，而ΔkD适中即可。
当系统到达响应后期时，定量偏差|e|较小，实际定量值已经非常接近设定值，为降低稳态误差，应选取较大的ΔkP以及较小的ΔkI，同时为防止在稳态值附近震荡，ΔkD适中即可[13-14]。
综上所述整定原则，可列模糊规则表，具体如表1所示。
表1 ΔkP、ΔkI、ΔkD模糊规则表Table 1 Table of fuzzy rules for ΔkP, ΔkI, and ΔkD
根据所设计的模糊规则，模糊控制器进行推理运算，实时输出PID控制器的校正参数，最终得到PID的3个参数的改变量分别为ΔkP、ΔkI和ΔkD，参数整定公式如式(8)所示。
式中，kP0、kI0和kD0为PID参数的初始值。
采用Simulink搭建仿真模型，被控对象数学模型采用关联矩阵为10×10的托普利兹矩阵形式[15]，如式(9)所示。
对所建立的定量系统模型加单位阶跃信号，定量系统的开环响应结果如图7所示。由图7可以看出，横幅各稀释水阀之间存在较强耦合关系，使得横幅定量严重不均匀，与设定的定量值之间存在较大误差。
图7 横幅定量系统开环响应平面图Fig.7 Open-loop response of cross direction basis weight system
为验证本研究所设计的控制算法的控制效果，分别采用PID控制器、传统的Smith预估器（PID-Smith）以及本研究的控制算法（FuzzyPID-FSmith）对定量系统进行仿真。用Z-N法得到PID控制器的参数值kP=2.14、kI=0.06、kD=0.25，采用大林算法得到PIDSmith控制器的参数值kP=2.14、kI=0.41、kD=0，并将其作为FuzzyPID-FSmith的初始值，即kP0=2.14、kI0=0.41、kD0=0，Smith预估器的反馈滤波时间常数一般取值与预估模型的滞后时间常数一致tm=8。同时为验证抗扰动能力分别在t=0 s和t=100 s对系统加入单位阶跃信号和幅值为-0.3的阶跃负载扰动。
4.1 标称情况下系统性能测试
图8为系统加入解耦矩阵后，并使用PID控制器的仿真结果。由图8可以看出，系统的耦合已经被抵消，但由于时滞的存在，导致系统响应速度迟钝，存在着32%的超调量和长达50 s的调节时间，且在受到扰动后需要较长时间才能恢复到稳态值，抗扰性能不佳，不适用于横幅定量的大时滞控制。
图8 PID控制器下纸张横幅平面图Fig.8 Plan view of cross direction of paper with PID controller
图9和图10分别为在PID-Smith控制器和本研究所设计的FuzzyPID-FSmith控制器下的仿真结果。由图9和图10可以看出，系统在FuzzyPID-FSmith控制器和传统的PID-Smith控制器都具有较好的动态性能，本研究所设计的控制算法无论是在追踪设定定量值方面还是抗扰动方面都略胜一筹，各控制方案的系统动态性能对比结果见表2。
图9 PID-Smith控制器下纸张横幅平面图Fig.9 Plan view of cross direction for paper with PID-Smith controller
图10 FuzzyPID-FSmith控制器下纸张横幅平面图Fig.10 Plan view of cross direction for paper with FuzzyPIDFSmith controller
表2 标称情况下性能指标Table 2 Performance indicators at nominal conditions
4.2 模型失配情况下系统性能测试
为检验在模型失配下各控制算法的有效性，将系统模型的增益K、时间常数L均增大20%，时间常数T减小20%，然后进行仿真。图11为在传统的PID控制器下系统的仿真结果图。由图11可知，系统调节时间变得更长，抗扰性能更差，系统动态性能全面下降。图12为在PID-Smith控制器控制下系统仿真结果。由于模型失配原因系统已经发散，纸张的横幅平面起伏严重，控制效果大大降低。在本研究所设计的FuzzyPID-FSmith控制器下，纸幅平面图的结果如图13所示。由图13可知，系统虽然产生了超调，但是依然能快速达到设定值并进入稳态，受到干扰后也能在较短时间内恢复到稳定状态，系统的鲁棒性得到较大的提升。模型失配下各个控制方案系统的动态性能指标具体如表3所示。
图11 PID控制器下纸张横幅平面图（模型失配）Fig.11 Plan view of cross direction of paper with PID controller(model mismatch)
图12 PID-Smith控制器下纸张横幅平面图（模型失配）Fig.12 Plan view of cross direction of paper with PID-Smith controller (model mismatch)
图13 FuzzyPID-FSmith控制器下纸张横幅平面图（模型失配）Fig.13 Plan view of cross direction of paper with FuzzyPID-Fsmith controller (model mismatch)
表3 模型失配情况下性能指标Table 3 Performance indicators in case of model mismatch
以陕西某造纸厂为例，纸机车速600 m/min、幅宽3.5 m、涂布白纸板定量306 g/m2，并由55个稀释水阀共同控制。图14为系统运行稳定后某个时间段的横幅定量偏差监控曲线。由图14可知，横轴坐标为55个稀释水阀的编号，纵轴坐标由上到下分别表示横幅定量差和相对应稀释水阀开度。最大正偏为该处横幅定量值偏离平均值的正向最大值，最大负偏为该处横幅定量值偏离平均值的负向最大值，2σ的含义为横幅定量的均方差指标，其值越小，定量越均匀。
图14 现场实际应用横幅定量差曲线Fig.14 Deviation curves of cross direction basis weight for practical application on site
从图14可以看出，在应用本课题的研究算法后，系统的定量偏差整体波动较小，其横幅定量差指标为6.6/306.1=2%（一般采用2σ/定量平均值的方式来作为横幅定量差的评价指标，并要求在5%以内，同时其指标在3%以内的为优等品），满足造纸企业对横向定量控制的需求，取得了较好的控制效果。
本课题通过建立纸张横幅定量系统数学模型，采用“区域化点”法对纸张横幅定量系统进行降维，并对降维后的系统设计解耦逆矩阵作为解耦器。设计了一种带有反馈滤波器的自整定Smith预估器（FuzzyPID-FSmith）。仿真结果表明，本课题所设计的控制算法调节时间快、超调量小、系统鲁棒性强。将本课题所设计算法投入现场应用，将横幅定量差指标控制在2%以内，取得了较好的控制效果，能够满足造纸企业的需求。
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