孙元勋 李红庆
(1.海口市教育研究培训院 571158；
2.海南华侨中学 570206)
高中数学课程引入空间向量内容后，使很多原本需要进行推理演化的立体几何问题的求解“代数化”、“程序化”了，以往的一些立体几何的“难题”变得“简单”了．有老师认为，立体几何内容在培养学生直观想象、逻辑推理核心素养的育人价值减弱了．在教学中，不难发现即便有空间向量作为解决立体几何问题的有力工具，学生在解决立体几何问题时依然会存在各式各样的“错误”，或者是对问题的解法过于单一、复杂．通过梳理学生在利用空间向量法解决立体几何问题的典型案例，分析“出错”或解法不简洁等原因，反思教学，有助于加深对空间向量内容育人价值的理解．
平面的法向量是向量法的关键工具．在应用空间向量法解决立体几何问题时，学生出现的错误或出现运算步骤、运算方法过于复杂等问题较多地体现在求平面法向量的过程上．由于教学中过于关注求平面法向量坐标的“程序化”步骤，使学生对平面法向量的理解仅限于“运算方法”层面上，就容易出现以下案例的情况．
案例1如图1，直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2AC=2，CC1=3，AC⊥BC，学生按照图中所示建立了空间直角坐标系，经过运算，求出平面ABC1的法向量n=(6,3,-2)(正确的结果应是n=(6,3,2))．
图1
分析从表面上看，学生是由于计算错误导致最后得出的法向量n的竖坐标符号出错，这也是学生常说的“马虎”．在解决数学问题的过程中，对每一个关键步骤得出结论的合理性进行思考和解释是数学抽象、逻辑推理核心素养的表现水平之一．学生如果能够较好地理解空间向量的坐标表示，看到结果“n=(6,3,-2)”时眼中不只是简单的数学符号，还包括对符号“n=(6,3,-2)”的含义或几何表示，那上述这类在计算法向量的结果时出现法向量的某个坐标符号错误的情况就不会发生．实际上，根据空间向量的坐标表示，n=(6,3,-2)=6i+3j-2k，其中向量i，j，k分别是x轴，y轴和z轴正方向上的单位向量，n的横、纵、竖三个坐标分别表示的是n在向量i，j，k上的投影，结合图中平面ABC1的具体方位，很容易发现n=(6,3,-2)与平面ABC1不可能垂直，这个过程也蕴含着直观想象．
图2
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
本题第(2)问应用综合法求解非常简单，我们这里重点讨论向量法．在当年的高考评卷中，多数学生解法如下：
由已知，
分析可以看到，上述解法是“程序化”的，运算量也比较大．实际上，如果能够强调“先用几何的眼光观察，再用向量运算解决”，就能很好发挥用向量法解决立体几何问题在发展学生直观想象、逻辑推理素养的育人功能．首先，可以引导学生从几何角度体会三棱锥P-ABC的大小和形状是确定的，M在棱BC上运动时，平面PAM“绕着直线PA转动”，二面角M-PA-C的大小就会随之改变；
然后，体会平面PAM的法向实际上被“平面PAC的法向”、“PA⊆平面PAM”、“二面角M-PA-C为30°”三个条件确定，因此它的法向量是可以直接根据以上条件求出的，因为法向量的坐标表示就是平面法向的代数表达．通过以上分析，可以得出下面的解法二：
教学反思从解法二中可以看到，求一个平面的法向量，并不一定只有“设法向量坐标——利用法向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直列方程组——赋值——解方程组”的“程序性”做法．教学中应强调上述方法的关键是“待定系数”，平面的法向量坐标有三个未知量，因为一个平面的法向量有无穷多个，所以往往是根据两个条件列出两个方程，再通过赋值就可以求出一个平面的法向量．在一般情况下，我们根据直线与平面垂直的判定定理来列出两个相应的方程．以上分析问题的过程中，需要直观想象、逻辑推理和数学运算．尽管解法二使用的仍然是向量法，但充分体现了“以对立体图形结构特点(组成要素及其形状、位置关系)的分析为基础”，通过合理的用向量表示几何元素及其基本关系，使得运算更为简捷，方法更能体现立体图形的特征．“‘合理表示’的本质是准确反映立体图形的基本特征，这要以正确把握图形结构特征为基础，这当然是空间想象力的直接反映”[1]．
教学中，对空间中平面的法向进行分类，有助于培养学生直观想象的素养，也能使法向量的运算更加便捷、准确，下面举例说明．
1.空间中，最特殊的一类平面是和两个坐标轴所在的平面平行的平面，与xOy面平行的平面的法向量为n=(0,0,1)，与xOz面平行的平面的法向量为n=(0,1,0)，与yOz面平行的平面的法向量为n=(1,0,0)．
图3
图4
图5
空间向量的教学，要以进一步理解立体图形结构特点的分析为基础，在分析问题时加强“先用几何的眼光观察”，突出向量工具代数表达的几何意义，才能发挥向量内容的育人价值，避免出现因向量工具可以进行“程序化”运算而忽略了对学生直观想象素养的培养．
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