魏显峰 殷木森
(1.深圳市教育科学研究院 518024；
2.深圳市龙华区教育科学研究院 518110)
恢复高考制度四十多年来，中国数学高考对能力要求的考查经历了从运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力构成的“三大能力”，到增加了实践能力和创新意识的“五种能力”，再把逻辑思维能力拆分为抽象概括与逻辑推理两种能力、增加数据处理能力后的“七种能力”的变化.2019年公布的“一体四层四翼”高考体系又提出了数学科的“五种关键能力”，由“三大能力”与“数学建模能力与创新能力”组成，是学生学习与运用知识解决问题需要的能力[1].其中，逻辑思维能力始终是核心[2-3]，运算求解能力由计算能力演变而来，包含了“运算、估算、化简变形和数据处理”等多种能力；
空间想象能力的要求变化不大；
数学建模能力由实践能力演变而成，它不仅包括了对应用问题建立模型解决问题，还包括了建立模型解决更丰富的问题情境；
从创新意识到提出创新能力，是一个大的转变，说明考生要逐渐学会独立思考、探索和研究，属于更高层次的能力[3].
为了选拔和区分不同能力或发展潜力的考生，各个不同历史发展阶段高考数学对数学能力考查的实施路径，与所处的社会背景是紧密相联的.因此，对之进行研究，能更好地帮助中学教师更好地把握一线教学的方向，具有十分重要的实践意义.
1977年恢复高考制度，1978年2月中华人民共和国国家教育委员会颁发的十年制《全日制中学数学教学大纲(试行草案)》明确要求中学生要“具有正确迅速的运算能力、一定的逻辑思维能力和一定的空间想象能力，从而逐步培养学生分析问题和解决问题的能力.”同时，1978年起印制的《全国高等学校招生考试复习大纲》中重点强调了“逻辑思维能力”的重要性.
那是一个考试复习备考资源匮乏的年代，在考查“双基”的同时，直接将教材中的重要定理的证明改造成了一道道试题.如1979年的“叙述并证明勾股定理”；
1980年文科的“用解析法证明直径所对的圆周角是直角”，理科的“用解析法证明三角形的三条高线交于一点”；
1981年文科的“写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明”，理科的“写出余弦定理(只写一个公式即可)，并加以证明”.事实上，这种命题方式有利于考查考生的逻辑推理能力及空间想象力，因为这些取材于教材中的重要定理的证明而改编成的试题往往有很多思考角度和证明方式，呈现出入口宽、方法活等的特点与特征，具有顽强的生命力.比如，2010年高考数学四川卷、2011年高考数学陕西卷借鉴这种命题方式，在选拔功能和区分度等上均取得了良好的效果.
改革开放以后，国内外形势发生了很大改变，为此从现实社会背景出发选取适当题材，并改造成合适的高考试题，如1979年的“浓度配比问题、外国船只不得靠近我海岸线问题、物价增长问题”；
1980年文科的“产值增长问题”；
1981年的“人口增长问题”等.就当时而言，这些与时俱进的问题，不仅能引导学生理解数学应用性的特点，而且能考查考生分析问题和解决问题的能力，为后续提出数学建模能力提供了一些案例和一定的实践经验.
2.1 能力考查备受关注
另外，还能常见利用“经典结论”综合考查考生的思维能力.如1984年第四题：已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行.考生解答此题需要经历如下几个环节或阶段：首先要经历不同语言的转换，即从文字语言到符号语言：已知平面α，β，γ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c，求证：a∩b∩c=P或a∥b∥c；
其次，证明时考生要经历分类讨论，这考查了考生是否具备严谨的逻辑思维能力，具体需要分成两类进行讨论：若a∩b=P，则一定有P∈c；
若a∥b，则a∥γ，a∥c，得证.可以说，在立体几何与解析几何中经常出现这种考法，既拓宽了考生的数学认知，对能力的考查也是比较全面的.
2.2 考查的方式不断创新
1991年，历史上第一次颁布了《普通高等学校招生全国统一考试数学学科说明》(即考试说明)，首次提出“三基”的概念，“三大能力”要求没有改变，运算能力还是放在逻辑思维能力前面，增加了“运用数学知识和方法”去分析和解决问题，为“五种能力”的提出埋下伏笔.因此，上个世纪整个90年代的考题从坚持“有利于教改，有利于选拔”的角度出发，注重“三基”考查，强调运用基本的数学思想方法去解决问题，整体上是趋于稳定的.
这一时期，命题者不断尝试新的变化，有意识地通过设置开放题(包括结构不良试题)、创新题、应用题，把它们放在试卷的重要位置，全面考查能力.
例1(1995年第25题)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和.
(2)是否存在常数c，使得
分析这是一道开放设问的题目，主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，需要用到较强的推理能力以及分析问题和解决问题的能力[5].从一个基本事实入手，即若{an}是由正数组成的等比数列，则{lgan}是等差数列.已知{Sn}不是由正数组成的等比数列，{lgSn}还会是等差数列吗？它们有什么样的不等关系？若存在这样的常数c，使得{Sn-c}是由正数组成的等比数列，则{lg(Sn-c)}一定是等差数列.若考生具备了相应的逻辑思维能力，此题解答起来就不那么困难了.后面第26题，同样非常强调运算能力与逻辑思维能力.
例2(1999年广东卷第16题)α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；
②α⊥β；
③n⊥β；
④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________
分析这是广东进行高考改革首次文理合卷的一道结构不良试题，要求考生开放作答，可以说，较全面地考查了考生的逻辑推理能力及空间想象能力.
但是，过分解读“基本方法”的考查，往往会出现一些技能技巧性很强的试题，如1996年理科第25题、1997年理科第24题，虽然以考生熟悉的一、二次函数作为背景，但是问题的设置相对考生而言非常刁钻，需要考生具备很强的推理技巧，客观而言要求考生在规定时间内完成作答，不是一件容易的事.
3.1 响应素质教育的呼唤
上世纪末，国家提出了“素质教育”，大纲版数学高考中提出了“五种能力”的要求，并确立了以能力立意的命题指导思想，开始探索考查实践能力和创新意识的要求.高考数学中通过创设有意义的问题载体，在问题解决过程中培养学生的实践能力和创新意识.
例3(2003年全国大纲卷理科第10题)已知长方形的四个顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)和D(0,1).一质点从AB的中点P0沿与AB的夹角θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角)，设P4的坐标为(x4,0)，若1 分析此题包含了丰富的物理背景，先简单作图，如图1， 图1 所以∠P1P0B=∠P1P2C=∠P3P2D =∠AP4P3=θ， 1999年，广东率先进行“3+X”高考改革，由此拉开了高考中同时存在大纲卷、新课程卷、分省命题卷长达十多年的时间，是一个百花齐放的年代.新课标高考明确提出了“七种能力”的要求.逐渐形成了“三角、数列、概率统计、立几、解几、函数”等六大知识板块，每个板块都承载着不同的能力考查要求. 以新增的“概率与统计”知识板块为例，仅以“古典概型”为载体，如2000年天津等省卷第17题，着重考查运算求解能力，思维的含金量并不高； 运算求解能力依然重要，但要适度淡化，多考一点想，少考一点算，试题尽量避免繁杂的技巧与运算，加大对理解、推理和论证等多种思维能力的检测，给考生提供灵活的思考空间，是这一阶段试题的重大特点，得到了广大一线老师的认可.如人大附中梁丽平老师在评价2010年北京卷时认为第8题作为选择题部分的压轴题，在这一点上做得特别好； 分省命题始于1985年，首先在上海实施，2004年开始逐渐在全国推广.然而分省命题，意味着每个省都要组建自己的命题队伍，命题的质量难免差参不齐[6].各省在不断的探索过程中逐渐形成了自己的命题风格，涌现出了一大批的好题、创新题，增加了备考的素材，但从个别题目来看，是真正“注重能力”，还是更多“关注技巧”，还不好判定. (1)求数列{an}的通项公式； 分析这是一道考查能力的好题，改编自2006年江西理科第22题，(1)中用到的方法尚且可以看成是基本技能，但(2)中运用基本不等式证明的过程中，放缩的技巧性强，虽然还能用数学归纳法证明，但这样的“奇思妙想”究竟是怎么得来的[7]. 网络上有人称2003年江苏卷“令人闻风丧胆”，其难度主要体现在第21、22题，以21题为例，(1)中证明y=(x-a)n其导数是y′=n(x-a)n-1，本来可以用复合函数求导，但考纲中不作要求，只能用二项式定理展开求导，再合起来，难度就非常高了； 2014年，上海、浙江开始试点实行高考综合改革(简称“新高考”)以来，至2021年全国范围内已有14省市进行了新高考，除上海、浙江、天津、北京仍实行自主命题外，其余省份使用新高考全国Ⅰ、Ⅱ卷.新高考取消考试大纲、数学不分文理科，命题理念向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”[8]转变，突出逻辑思维能力的考查，开创性地提出了数学建模能力.命题组积极求变，在实施路径上进行了很多探索. 引入多选题，考查综合性思维能力.多选题对能力的考查更加深入，要求学生具备完整、细致、全面的思维品质. 例5(2020年新高考Ⅰ卷第11题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则________. C. log2a+log2b≥-2 ; 分析这是一道不等式的相关问题.考生要树立问题整体意识，首先A、C、D选项均能用基本不等式顺利解决，唯独B选项有点困难，需要先确定a-b的范围，可用b=1-a得出a-b=2a-1去求它的范围，也可用线性规划的办法解决.总体上，需要考生具备良好的逻辑思维能力和运算求解能力. 增设开放问答的填空题，考查发散性思维.一直以来，填空题是主观题的主阵地，有问有答，但是变成开放问答后，就更能让考生联系所学知识，聚焦问题的解决. 图2 利用结构不良试题，考查分析与解决问题的能力.结构不良，顾名思义就是结构上存在缺陷.有研究证实，这种试题能较好地考查考生的思维能力和表达能力，具有较大的开放性.命题组不断尝试，开发出一种既适合考查考生，也方便批阅的命题方式.如2020年北京卷第17题，2021年北京卷第16题，2020年全国Ⅰ卷第16题，2021年甚至在旧高考卷中也尝试这样考查. 例7(2021年全国甲卷理科第18题)已知数列{an}的各项为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. 中国高考评价体系中指出，要创设出能够更加真实地反映出考生素质的问题情境这一考查载体，从而形成“考查内容、考查要求、考查情境”三位一体的素质评价体系[8]，即高考中要创设出合理的问题情境，通过问题的解决，考查考生分析问题与解决问题的能力. 设计与时俱进的应用问题情境.如2020年新高考全国Ⅱ卷第9题以“疫情期间复工复产”为背景，2020年新高考全国Ⅰ卷第12题以“信息熵”为背景，2020年北京卷第15题以“环保治理”为背景，2021年新高考全国Ⅰ卷第18题以“一带一路”知识竞赛为背景，2021年北京卷第18题以“新冠肺炎核酸检测”为背景.这些真实的问题情境，很好地引导考生理解数学来源于生活，又应用于生活的本质，跟原有的应用问题相比，更具有现实意义. 设计跨学科融合的问题情境.如2020年新高考全国Ⅰ卷第4题是数学与地理学科相融合，第5题是数学与生命科学相融合； 设计探究性的问题情境.虽然这种题型很早就有，且多数放在压轴位置，但是新高考卷不断将它发扬光大，利用它考查考生的逻辑思维能力、数学建模与数学探究能力. 例8(2021年北京卷第21题)定义Rp数列{an}：对实数p，满足： ①a1+p≥0，a2+p=0； ②∀n∈N+，a4n-1< p> ③am+n∈{am+an+p,am+an+p+1}. (1)对前4项为2,-2,0,1的数列，可以是R2数列吗？说明理由； (2)若{an}是R0数列，求a5； (3)是否存在p，使得存在Rp数列{an}，对∀n∈N+，满足Sn≥S10？若存在，求出所有这样的p； 由此，不妨大胆猜想a4=a5=a6=a7=-p+1，a8=-p+2，由此可顺藤摸瓜.探究类试题具有很好的选拔与区分功能，能全面考查考生综合分析与思考问题的能力. 文理合卷下，如何既体现出应有的人文关怀，又突出关键能力的考查，合理地搭建思维梯度，利用“低起点、高落差、多层次”策略，可以说既提高了考生的得分率，又给具有更高数学素养的考生更多的思维空间，思维的层次性比较明显.例8就是很好的例子，前两小问给了考生很多空间，但最后一问的思维高度就不是人人都能企及的. 例9(2021年全国Ⅰ卷第22题)已知函数f(x)=x(1-lnx). (1)讨论f(x)的单调性； 分析第(1)问属于送分题，但第(2)问其思考的角度就非常宽泛了，真正体现了思维的多层次性. 第一个角度能用到第(1)的结论，第二个角度构造的新函数也是一个考生熟悉的函数模型，然后运用常规做法就能顺利解决.对等式的变形也是运算能力的一种体现，所以本题对运算求解能力、逻辑思维能力考查非常全面.随着改革逐步推进，新高考中肯定还会出现更多新颖的问题情境，其最终目的是为了让教学跳出题海，减轻学生的负担，真正培养学生分析问题与解决问题的能力. 华罗庚先生把“三大能力”作为数学学习的根本，不同历史时期，数学人又对它进行了拓展和延伸.高考数学总能通过不同的实施路径，基于实际社会环境创设良好的问题载体，真正区分出不同考生的能力水平，为国家选拔优秀人才，为中学数学教学指引方向.
3.2 百花齐放的年代
引入了“离散型随机变量分布列”以后，命题的思路就更广阔了，如2007年安徽理科第20题，以分布列、数学期望、独立性重复试验为载体，考查逻辑思维能力与运算求解能力；
加入“统计与统计案例”后，着重考查统计思想，概率作为一种估计的工具，也是一种常见的命题思路，如2015年、2016年新课程全国Ⅰ卷第19题，就需要考生具备较强的数据分析能力与运算求解能力.
成都市树德中学李勇老师也认为2010年四川卷文理科都有很多道题目不需要较多的运算就可得出结论.笔者认为，解析几何的解答题最能体现这一思想，也是一线教师最为津津乐道的.
(2)中把要证的不等式转化成(n+1)n-(n+1-a)n>nn-n(n-a)n-1(n≥a>0)，考生若没有注意到n≥1≥a>0，即1-a≥0，则后面的放缩与证明函数f(x)=xn-(x-a)n的单调性都会显得非常困难，若考生尝试要把(n+1)n用二项式定理展开，则后面的解题很难进行下去.4.1 不断创新命题形式
4.2 精心设计问题情境
2021年北京卷第8题是数学与地理相融合；
2021年新高考全国Ⅰ卷第16题则是数学与剪纸艺术相融合.最典型的要数2020年旧高考全国Ⅱ卷文科第3题数学与钢琴的结合，不少老师认为考生不会钢琴就不会解这道题.其实不然，跨学科融合的试题归根到底还是要转化成数学的模型，用数学的方法去解决问题.
若不存在，说明理由.
4.3 合理搭建思维梯度
