杨婧 陈至桐
［摘 要］数学和物理学是理科中联系最为紧密的两个学科，高中课程中的数理结合内容教学对促进学生学科核心素养发展、提高学生知识整合能力和跨学科综合运用知识解决实际问题能力具有重要意义。文章通过比较分析中、英高中数学教材中的数理结合内容在知识点呈现方式、题目设置和特点方面具有的不同特色，从教学内容、物理情境、教学难点和习题设置四个方面为高中数理结合内容的教学提供参考建议。
［关键词］数理结合内容；
高中数学；
A Level课程；
教材分析
［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2023）09-0025-04
一、 引言
我国《普通高中课程方案（2017年版2020年修订）》和《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中指出要关注学科间的联系与整合，促进学生核心素养的发展［1- 2］。在理科中，数学和物理学在学科内容和方法上相互结合，在学科发展历程中相互促进，是关系最密切的两个基础学科。我国高中数学教材中有很多知识点就是结合物理问题引入的，或者利用物理量之间的关系进行阐述，或者应用于解决实际物理问题，这些就是“数理结合内容”［3］。类似地，英国高中AS & A Level（Advanced Subsidiary and Advanced Level，简称A Level）数学课程的《课程大纲》指出，要让学生获得能够在日常情况和其他学科背景下应用数学的技能，培养学生的数学建模能力。其中，特别提到了关于力学模型的数学应用问题求解［4-5］，并且课程内容中还专门设置了“力学数学”相关主题模块，这就是A Level数学课程中的数理结合内容。本文分析并比较我国人民教育出版社2019年版的《普通高中数学教科书》A版（以下简称“人教版教材”）、英国剑桥大学出版社2018年版的A Level力学数学教科书Cambridge International AS & A Level Mathematics：
Mechanics Coursebook和进阶数学教科书Cambridge International AS & A Level Further Mathematics Coursebook（以下将这两本教材统一简称为“A Level教材”）中数理结合内容的知识点呈现方式、相关题目设置及特点，并根据两国教材中的特色和差异，给出高中數理结合内容教学的参考建议。
二、 中英高中数学教材中数理结合内容的比较
（一） 知识点呈现方式的比较
我国人教版教材中，除“集合与常用逻辑用语”和“复数”两个章节外，其他必修和所有选修章节均包含数理结合内容。这些内容分布于教材中的“章节开篇”、“问题导入”环节，以及“探究”“思考”“观察”等多个栏目中。其中，数理结合内容中的物理知识涉及力学、热学、电磁学、光学和近代物理等多个物理领域。在教材中，数理结合内容与纯数学内容交织在一起，相关的题目与数学类基础题以及其他应用类问题没有进行分类标记或特殊的排版区分。例如，人教版高一数学必修第一册第三章“函数的概念与性质”的“章节开篇”中引用了“天宫二号”发射升空的距离随时间的变化而变化、高铁营运里程逐年增加两个物理实例，又从“复兴号”高铁匀速运行时的路程与时间关系“问题”引出“函数的概念”；
人教版高一数学必修第一册第五章“三角函数”中，以匀速圆周运动、简谐运动、交变电流、气温变化、潮汐规律、星体亮度等“问题”和“例题”介绍了三角函数的应用，又在“阅读与思考”栏目中介绍了声音的振幅、周期、频率、相位等知识；
人教版高一数学必修第二册第六章“平面向量及其应用”中6.4.2小节介绍了向量在物理中的应用；
人教版高二数学选择性必修第二册第五章“一元函数的导数及其应用”中从高台跳水运动员的瞬时运动速度引出了“变化率问题”，进而引出了导数相关知识点，并在这一章中设置了多个与运动学相关的“例题”“练习”与“习题”。不仅如此，教材中的数学史也提到了物理学家在数学学科发展中的贡献。例如，人教版高一数学必修第一册第三章“函数的概念与性质”的“文献阅读与数学写作”栏目中，参考选题“数学家与函数”里提到了开普勒、伽利略、牛顿等物理学家对函数发展所起到的推动作用；
人教版高一数学必修第一册第四章“指数函数与对数函数”的“文献阅读与数学写作”栏目中，介绍了伽利略对“对数”的出现所做的评价。此外，第五章“导数的运算”一节“探究与发现”栏目中还引申介绍了物理学家牛顿提出的利用导数法求高次方程近似解的数值算法，以此鼓励学生运用信息技术工具来探索和解决问题。
英国剑桥大学国际考评部（Cambridge Assessment International Education，简称CAIE）下设的A Level数学课程有两门，分别为“数学”（Mathematics，课程代码9709）和“进阶数学”（Further Mathematics，课程代码9231）。两门课程内容均分为“（进阶）纯数学”、“（进阶）力学数学”和“（进阶）概率与统计”三大部分。A Level数学教材基本就是按照这三部分的顺序进行章节编排的。其中，数理结合内容仅在“（进阶）力学数学”部分对应的章节中出现。整体来看，其课程结构安排与知识内容和物理学教材相似，包括了质点物体的一维运动、平衡态力学、恒力作用下的直线运动学、刚体、变力作用和二维运动。在物理知识的讲解上，（进阶）力学数学教材的主要特点体现在三个方面。第一，（进阶）力学数学教材偏重物理规律在实际问题中的应用，而非它们的建立过程。因此，诸如物理概念、定理、定律和公式等基本物理知识在教材中大多是开门见山地直接给出。以“动能”的定义式为例，A Level力学数学教材中是紧随“动能”一词的出现直接给出的；
而A Level物理学教材则通过一个特例给出了它的具体推导过程。第二，（进阶）力学数学教材中特别强调了关于抽象数学方法、概念的应用还需要考虑到实际物理问题对其的限定。例如，在纯数学知识领域中，利用图像法展示变量间的函数关系时，对函数图像是否连续并无限制，但如果应用到物理学中的路程—时间图像时，从路程的物理意义可知，其随时间变化的函数图像必须是连续的。第三，（进阶）力学数学教材中专门设置了“模型假设”栏目来详细阐述所学数学概念、方法在应用于实际物理问题时，需要进行假设。例如，教材的多个章节从不同运动形式和不同问题角度讨论了建立“点粒子”模型时，物体的形状、体积、形变等因素对其运动影响在何种条件下可忽略不计；
持续不变的物理量和瞬时变化的物理量分别在何种条件下可被看作“不变”和“瞬时”等。这些从实际问题提炼数学模型的详细分析过程，既培养了学生运用所学知识解决实际问题的能力，又引导学生从深度和广度两方面思考、拓展所学知识。
（二） 题目设置和特点的比较
我国人教版教材中设置了四类与题目相关的栏目，分别是章节中的“例题”、三级标题小节末尾的“练习”、二级标题小节末尾的“习题”和章末的“复习参考题”。在“习题”和“复习参考题”栏目中又各有三个子栏目：“复习巩固”“综合运用”和“拓广探索”。分析得出，数理结合内容相关题目具有以下特点。
1.物理情境方面：以人教版高一数学必修第二册中“6.4 平面向量的应用”一节为例，本节共出现了20道数理结合类的应用题目，题目数量较多，在本节的应用类题目中约占三分之一。其中，物理情境问题可归纳为5类，分别为均匀物体的重心、粒子之间的相对位移、拉力的合成、航行问题中速度的合成、角度测量相关的航向与航线。可见，相较题目数量来说，物理情境设计的重复率较高。
2.物理知识技能方面：题目考查的重点为数学知识本身，虽然是物理方面的应用问题，但关键的物理知识信息，如物体的受力情况、运动方程等，一般会在题目中作为已知条件，以坐标、函数等数学形式呈现。这类题目对物理问题的分析能力和物理知识技能的要求不高。
3.题目类型与难度方面：复习巩固类题目一般与对应章节的“例题”相似，主要以巩固基础知识为主；
综合运用类题目多是在“例题”的基础上进行小幅变化，旨在加强理解和拔高，比如在原例题基础上进行其他条件下的求解，或将原例题中的已知条件与求解问题对调，或在原例题基础上做进一步计算得到其他物理量等；
拓广探索类题目的开放性较强，求解方法多样，答案并不唯一，旨在提高学生的多角度思考探索能力，培养学生的创新意识。
英国A Level力学数学教材中设置的题目专栏也有四类，分别是章节中的“例题（Worked Example）”、节末“练习题（Exercise）”、章末“复习题（End-of-Chapter Review Exercise）”和涉及多个章节知识内容的“交叉话题复习题（Cross-Topic Review Exercise）”。除“例题”外，各栏目中的题目又分为无需计算器类、P（Proof，证明）类、M（Modelling，模型）类、PS（Problem Solving，解决问题）类、真题类以及P、M、PS的各种组合类和其他类。分析得出，这些题目具有以下特点。
1.物理情境方面：情境的创设与日常联系紧密，生活化程度高，具有多样性。比如，在第一章中关于“物体的运动”情境中就涉及多种生活场景、交通工具和体育运动项目等，并且大多数题目能够达到一题一个情境。
2.物理知识技能方面：题目中一般会出现一段关于实际场景或实际问题的描述，篇幅相对较长，需要学生通过分析给出合理的假设，进而提炼出物理模型，列出相应的公式进行求解。这就要求学生要掌握一定量的物理知识，还要具备较强的问题分析能力。
3.题目类型与难度方面：无需计算器类题目中一般是简单的代数运算；
P类题目中多是关于物理公式的证明，或是关于物理量大小的证明；
M类题目要求指出解题过程中必要的物理假定和近似，與教材中的“模型假设”栏目对应；
PS类题目要求给出问题的解决方案；
真题类题目为历年考试真题，只在“复习题”和“交叉话题练习题”栏目中出现，这说明A Level课程不仅注重跨学科综合，同时也注重学科内的综合。此外，每种类型的题目中都有易有难，无法简单地从题目类型来判断题目难度。
三、 研究结论与教学建议
我国高中人教版数学教材中除前文提到的两章内容外，其余所有章节都有“数理结合内容”，涉及的物理学内容较广，但习惯利用较为典型且单一的物理情境去集中讨论某一数学知识点，并且其中的物理信息描述偏重数学化，对物理方面的知识能力要求不高。英国A Level数学教材中的“数理结合内容”仅集中于与“力学数学”相关的章节，章节的安排和内容上类似物理学教材，题目中的物理情境设计丰富，但仅围绕力学领域展开，题目风格偏重于解决物理问题，缺乏数学知识的体系性。因此，笔者根据两国教材特点取长补短，提出以下几点关于高中“数理结合内容”教学的参考建议。
1.数理结合内容的教学应在不影响学科主线结构的基础上，从数学和物理学两方面双管齐下，不仅将物理学知识融于数学课程的各个章节，还应涉及物理学的各个领域，比如力学、热学、电磁学、光学、近代物理等。由于数理结合内容具有跨学科的综合性，教学上应兼顾两门学科的知识体系与教学进度。教师可以以一门学科为主，设计关于另一门学科的教学专题。比如，以数学学科为主设计物理学教学专题“函数的物理应用”“三角函数的物理应用”“向量的物理应用”等；
或以物理学科为主，设计数学教学专题“物体运动的图像分析法”“物体受力分析的矢量运算”“几何光学中的圆锥曲线问题”等。
2.数理结合内容中的物理情境设计应具有真实性和多样性，来源于生活、应用于生活。题目中描述客观事实时所涉及的近似和假设应结合实际，避免盲目追求数理结合而生搬硬套、脱离现实。
3.数理结合内容的教学难点在于抽象模型的构建和公式的物理意义，应注意避免在解题过程中过度数学化而忽略了物理意义。比如，数学上简单的公式变形、化简或变量代换，可能会带来完全不同的、甚至是错误的物理解释。因此，学科综合教学应充分建立在所涉及学科的基础知识之上，使学生知其然，也要知其所以然，能够通过分析解决实际物理问题，进而提高学生的模型建构能力和数学、物理两个学科核心素养，增强学生的创新意识。
4.数理结合内容的习题难度应循序渐进，既要有巩固知识、树立信心的基础题，又要有综合运用、激发兴趣的拔高题。题目类型和难易程度应有明显分类标注，便于学生进行自测。此外，我国人教版教材中“拓广探索”栏目和A Level教材中“交叉话题练习题”栏目中的题目设计，能够在数学和物理跨学科综合训练的同时兼顾学科内综合训练，应鼓励学生积极面对这类习题，开拓思路，探索创新，达到真正的学科知识融会贯通。
［ 参 考 文 献 ］
［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中课程方案：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.
［2］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.
［3］ 高珊珊，段旭朝，王小风.基于数理结合思想提升学生的科学思维素养［J］.学园，2020（19）：16-17.
［4］ Cambridge Assessment International Education. Cambridge International AS & A Level Mathematics 9709 Syllabus ［EB/OL］. （2020-09-15） ［2023-02-12］. https：//www.cambridge international.org/Images/597421-2023-2025-syllabus.pdf.
［5］ Cambridge Assessment International Education. Cambridge International AS & A Level Further Mathematics 9231 Syllabus ［EB/OL］. （2020-09-25） ［2023-02-20］. https：//www.cambridge international.org/Images/597381-2023-2025-syllabus.pdf.
（责任编辑 陈 明）
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