李颖，姚宏，赵雪
（空军工程大学基础部，陕西西安 710051）
在材料力学的课程教学中，弯曲变形是四种基本变形中最复杂也最重要的基本变形。其中，用剪力方程和弯矩方程来画剪力图和弯矩图是求弯曲内力的常用方法之一。熟练掌握这种方法，对于求解弯曲变形、组合变形等问题非常有益。但笔者在听一些年轻教员的讲课以及翻阅《材料力学》《工程力学》教材后发现：在弯曲内力这一内容中，学生和教师经常会犯一个共性错误，即“在写剪力方程和弯矩方程时，自变量x的取值区间范围如何正确书写”。这样一个问题混淆不清，存在很多错误，而且为数还不少。截至目前，尚未发现有哪本教材对上述问题进行详细、深入的论述[1-7]。由于部分老师（尤其是年轻老师）并未对这个问题进行深入思考，因此，老师在授课当中只是写出正确的剪力方程和弯矩方程、画出正确的剪力图和弯矩图，至于区间范围的书写，老师会根据自己的理解去随意书写，并且可能不正确。问题虽不大，但老师忽略了数学教学的严谨性，没有挖掘知识背后的东西，也会把这种随意性灌输给学生，导致学生对概念感到模糊。此外，在采用弯曲变形直接积分法时，挠曲线近似微分方程中也要用到弯矩方程，但教材并未提及正确书写弯矩方程需要注意的问题，部分年轻教师也会出现认识上的错误。因此，笔者觉得有必要把这两个细节问题论述一下。
首先，我们来阐述如何正确书写剪力方程和弯矩方程的自变量x的取值区间范围的问题，用以下两个简单的例题来说明。
例1 图1（a）示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
以梁的左端为坐标原点，选取坐标系如图1（a）所示。对于AC段，写出它的剪力、弯矩方程：
图1 简支梁—集中力弯曲内力图
此时，x1的取值范围是从0到a。而对于剪力方程，因为剪力只受集中力影响，不受集中力偶影响，A点和C点处分别作用有集中力FRA和F。因此，从数学意义上来理解这两个点，它们是两个间断点，即左右极限存在但不连续，剪力都要发生突变，而不是只在C点发生突变，所以x1的取值范围应是 0 ＜x1＜a，两边都不能写等号。对于弯矩方程，因为弯矩只受集中力偶影响，不受集中力影响，A点和C点处的集中力FRA和F对弯矩没有影响，所以这两点都是连续点而不是间断点，因此，x1的取值范围应是0 ≤x1≤a。同理，对于CB段，写出它的剪力、弯矩方程：
对于剪力方程，C点和B点都是间断点，x2的取值范围应是a＜x2＜ l。对于弯矩方程，C点和B点都是连续点，x2的取值范围应是a≤x2≤ l。从根据剪力方程和弯矩方程画出的剪力图（图1（b））和弯矩图（图1（c））中仔细观察，也能够看出这个连续和间断的规律，从而加深对自变量区间范围书写的正确理解。
例2 图2（a）示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
图2 简支梁—集中力偶弯曲内力图
以梁的左端为坐标原点，选取坐标系如图2（a）所示。对于AC段，写出它的剪力、弯矩方程：
此时，x1的取值范围是从0到a。对于剪力方程，因为剪力只受集中力影响，不受集中力偶影响，A点处作用有集中力FRA，剪力要发生突变，因此是间断点，C点处作用有集中力偶M，对剪力没有影响，是连续点，所以x1的取值范围应为0 ＜x1≤a。对于弯矩方程，因为弯矩只受集中力偶影响，不受集中力影响，A点处作用有集中力FRA，是连续点，C点处作用有集中力偶M，弯矩要发生突变，是间断点，所以x1的取值范围应为0 ≤x1＜a。同理，对于CB段，写出它的剪力、弯矩方程：
对于剪力方程，C点处作用有集中力偶M，对剪力没有影响，是连续点，B点处作用有集中力FRB，剪力要发生突变，是间断点，所以x2的取值范围应为a≤x2＜ l。对于弯矩方程，C点处作用有集中力偶M，弯矩要发生突变，是间断点，B点处作用有集中力FRB，对弯矩没有影响，是连续点，所以x2的取值范围应为a＜x2≤ l。
同样，从根据剪力方程和弯矩方程画出的剪力图（图2（b））和弯矩图中（图2（c））中仔细观察，也能够看出这个连续和间断的规律。
这里笔者还要进一步说明，以上两例的坐标原点都在最左端A点，都是以x轴向右为正来分段列写剪力、弯矩方程。如果AC段以A点为坐标原点，x轴向右为正，CB段以B点为坐标原点，x轴向左为正，这时写弯曲内力方程采用的是“左右开弓”的方法，列写方程时可以简便一些，如图3所示。此时，自变量x区间范围的书写依然遵循上述规律。
图3 列写弯曲内力方程分段图
AC段
BC段
但是老师在画图时必须要注意分段时各段坐标原点的位置，注意按一一对应关系画内力图。
需要特别注意的是，老师如果用直接积分法求弯曲变形，需分段写出弯矩方程时，则不能用这种“左右开弓”求弯矩的方法（即x轴正向不能来回变动，而是必须始终保持一个方向），否则会造成转角相差一个负号，如图4所示，图4（a）转角θA为正值，图4（b）转角θA为负值。如果遇到分段列写弯矩方程，“左右开弓”会引发计算结果错误，下面以例3来说明。
图4 x 坐标轴正向取向图
例3 图5（a）示一等刚度外伸梁，解得其外伸端点的挠度等于零，但笔者从直观上看这是不可能的。这个解题过程如下，试分析其问题出在哪里？[8]
图5 列写弯曲内力方程分段图
解：先根据平衡方程分别计算约束力FRA=0，FRB=2ql
AB段
BC段
由边界条件x1=0，w1=0，得到D1=0。由x1=l，w1=0，得到。
由光滑连续条件x1=x2=l，θl=θ2，w1=w2，得到。
则x2=0，wc=0，但显然C点的挠度不等于零。错误的原因就在于老师分段列写弯矩方程时，采用“左右开弓”的方法会造成转角相差一个负号，从而引发计算错误。因此，老师在计算时，x轴正向不能来回变动，而是必须始终保持一个方向。如图5（b）所示，x轴始终向右为正，对于AB段，若取A点为坐标零点，x1向右为正，则对于BC段，可以将A点取为零点，x2必须向右为正才正确，也可以将B点取为零点，x2向右为正。反之，x轴始终向左为正，即从右往左分段取，则方法与上类同，笔者不再细述。
教学无小事。笔者从阅读教材、日常教学中发现的两个容易混淆的问题，提示我们对于教学内容中的很多细节问题，我们不能只满足于一知半解，要多问几个为什么，做出深入思考，这是一种学习态度，更是一种职业责任。
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