孙松阳，孙秀平
(长春理工大学理学院，吉林 长春 130022)
计算电容器时，除了定义式之外，串并联法是常用方法。当电容器导体板之间出现非均匀介质时，学生们往往会凭直觉来判断串联还是并联，即使做对了也不清楚原理，在于缺乏判断的依据。许多文献中对此问题也没有详述[1-3]。本文从赵凯华的《电磁学》例题[1]出发，详细推导出串联公式和并联公式，然后推导出非均匀介质下串联和并联的计算公式，并应用到一个例子中，有助于计算更复杂结构的电容器。
《电磁学》第二章第三节中习题2.3-13 如图1（a）所示：一平行板电容器两极板的面积都是S，相距为d，在其间平行地插入厚度为t、相对介电常数为ε的均匀介质，其面积为S/2，求它的电容。学生在计算电容时，出现了两种情况：一是图1（a）的方式，把左边部分看作C1和C2的串联，与右边的C3并联，结果是：
图1 串并联电容器示意图
另一种是图1（b）的方式，先把下边部分看作C1和C2的并联，再和上边的C3串联，结果是：
显然，这两种思路得到的结果并不相同，问题出在哪里呢？
在此给出电荷的分布情况和串并联公式的详细过程。如图2（a），电容器C1、C2……Cn用导线连接起来，Ci的右极板与Ci+1 的左极板连接，C1的左极板及Cn的右极板连接到电路中。以C1和C2为例，利用导体的性质和高斯定理分析一下电荷分布情况。C1的左极板接到电路中，电量为Q，Q分布在C1的内侧，由于静电感应，C1的右极板和C2的左极板及其连线组成导体，C1的右极板和C2的左极板感应电荷分别为q1和q2，电荷分布在导体表面，q1和q2分布在对应极板的外侧，极板上的电荷分布在图2（a）中的粗线表示的面上，且q1+q2=0。如图2a 中的闭合虚线所示，高斯面的上下面与电场线平行，左右面在导体中，通过它的电通量为0，根据高斯定理，q1+Q=0。所以q1=-Q，q2=Q。以此类推，每个电容器的左右极板电荷都是Q和-Q，且电荷分布在电容器的内侧。根据电压是电场的积分，整个电容器的电压是U=U1+U2+…，其中Ci的电压Ui=Q/Ci，根据U=Q/C=∑Q/Ci，得到总电容1/C=∑1/Ci，即串联公式。可见，电容器串联的前提是电容器串接处为等势面。除了C1及Cn的极板之外，可以把图2（a）中的由导线连接的两个极板都合在一起，变成非常薄的导体板，如该图2（b）所示，甚至可以把这些薄导体板去掉，并不影响电场分布与电容的大小。因此，在某个电容器电势相同的地方可以插入任意薄导体板，其他导体板构成电容器，便于辨别出串联的存在。
图2 串并联简化图
再来看一下并联情况。如图2（b）所示，电容器C1、C2……Cn，它们的上下极板分别连于同一根导线，形成一个总电容。所有电容器的电压都相同，设上极板带电荷量分别为Q1、Q2…，下极板带有等量负电荷，总电量为Q=Q1+Q2+…，每个电容器满足Qi=CiU，则总电容为C=Q/U=∑Qi/U=∑Ci，即并联公式。同样，我们也可以把上、下边的极板组合在一起，分别构成两个大的极板，并联使电容器的极板面积变大。
回到开篇的习题,图1a 中左边S/2 的上下部分都是均匀电场，分界面是等势面，可以在此处插入薄导体，构成两个电容器C1和C2，满足串联的条件，由于左边串联后的电容器与右边S/2 电容器的极板并接，并接出电势相同满足并联条件，所以图1a 的先串联后并联的方式是正确的，结果与定义法一致。我们分析图1b 的方式，由于图1b 中C1和C2的电场不同，两者高度一样，C1和C2下边电势相等，上边电势不等，不满足并联条件，无法并接起来，如果在C1和C2的上边插入薄导体板则会改变原来的电场和电容，所以图1b 的方法不正确，结果也与定义法不同。如果图1a 中不存在介质，两种方法都成立，结果一致。
我们以平行板电容器为例，推导出非均匀电介质情况下的电容公式。如图3（a）所示，平行板电容器极板长a、宽b，间距为d，面积S=ab。建立平面坐标系，设相对介电常数ε是x，y的函数。任取柱形体积元，截面积为dxdy，体积元非常小，其内的电场均匀，可以作为平行板电容器处理，因平行板电容器的公式是在均匀电场下得到的。体积元的元电容为
图3 非均匀介质电容器的串并联
我们采用两种方法处理。其一是沿着图3（a）中的竖直虚线积分，满足串联条件，得到dCx，沿着x方向的电容dCx满足并联条件，利用并联公式，得到电容
其二是沿着图3（a）中的水平虚线积分，该虚线处并不一定电势相等，我们仍然用并联公式推导，得到dCy，沿着y 方向的电容dCy也不一定满足串联条件，仍用串联公式推导得到
方法一在任何情况下都适用，方法二只有在等势面与x轴平行时才能成立。
我们将平行板电容器中间的左上和右下部分填充两种电介质，如图3（b）、3（c）所示，以此为例验证我们以上推导的公式。相对介电常数ε的分布函数为
我们先采用方一法计算电容器，如图3（b）所示，根据公式（3）、（4）、（5）得到
我们再采用方法二计算电容器，如图3c 所示，根据公式（3）、（6）、（7）得到
这说明该方法二只有在等势面与x轴平行时才适用，可以参考文献[3]的应用。
本文指出串联需要保证串接的相邻电容器界面处为等势面，等势面处插入薄导体板作为辅助便于分析问题，并联需要保证并接处为等势面。我们的研究为串并联法处理电容器时提供了规则，也有助于非均匀介质电容器的计算。
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