张艳，张建平
（延安大学数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）
框架理论是小波分析的主要研究内容之一。框架具有类似于基的性质，它比基有更好的灵活性。Hilbert空间H中的框架{ϕj}可以将H中的任意元素表示成的形式，但其系数cj一般不是唯一的。框架概念首先由DUFFIN等［1］在1952年为解决非调和Fourier级数的深层次问题而提出的，直到1986年，DAUBECHIES等［2］取得突破性研究。框架理论被应用到许多领域，如滤波器理论［3］、信号处理［4］、量子计算［5］等，从而开创了框架理论研究的新时代。之后，国内外许多学者对框架进行了深入研究，得到了大量有价值的研究成果［6-7］。2006年，SUN通过研究斜框架［8］、伪框架［9］、子空间框架［10］等概念，从中提炼出了g-框架的概念［11］，并对g-Bessel序列、g-框架、g-Riesz基等相关概念及g-框架稳定性进行了研究［12］。算子是研究g-框架理论的一个重要工具，ZHU引入预框架算子的定义，使g-框架理论更加完善［13］。
文献［14］研究了Hilbert空间中g-框架在Sα(α∈R)作用下的稳定性及在可逆算子作用下的稳定性。本文第二部分在此基础上进行推广，研究g-框架在余等距算子、有界算子、满射算子作用下的稳定性，给出了g-Bessel序列成为g-框架的条件以及两个g-框架的直和仍为g-框架的条件。文献［15］通过有界算子与g-框架相结合，给出g-框架对在算子扰动下为g-框架的几个结果。受其启发，本文第三部分给出交错对偶g-框架的定义，研究两个g-Bessel序列成为交错对偶g-框架的充要条件，证明了互为交错对偶的两个g-框架的和是g-框架，并给出互为交错对偶的两个g-框架分别在可逆算子作用下仍互为交错对偶g-框架的充要条件。
本文用U和V表示两个Hilbert空间，{Vj：j∈J}是V中的一列闭子空间，J是可数的指标集，用L(U，Vj)表示所有从U到Vj的有界线性算子的集合。若Vj=U，记L(U，Vj)=L(U)，此时称IU为U上的恒等算子，
定义1［14］设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是Hilbert空间U中的一个算子列，如果存在两个正常数0如果a=b=1，则称{Λj∈l(u，vj)：j∈j}为u关于{vj：j∈j}的parseval g-框架。< p>
定义2［16］设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的g-框架当且仅当TΛ：l2({Vj：j∈J})→U，是可定义的有界线性算子，就称TΛ为{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}的前框架算子。它的共轭算子TΛ*：U→l2({Vj：j∈J})，TΛ*f={Λj(f)：j∈J}称作是{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}的分析算子。对于g-框 架{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}称有界算子SΛ：Λj f为{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}的框架算子，SΛ是一个线性、有界、自伴、正的可逆算子［17］。
定义3［18］设H是Hilbert空间，Q是H上的线性有界算子，如果对∀f∈H，‖Q*f‖=f，那么算子Q称为余等距算子（其中Q*为算子Q的共轭算子）。
引 理1［16］设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是U关 于{Vj：j∈J}的g-框架，令T：U→U是U的可逆算子，则{ΛjT∈L(U，Vj)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的g-框架。
引理2［19］设T：U→K为有界满算子，存在有界算子T+：K→U，使得TT+：K→K，TT+f=f，则称T+为T的伪逆。
引理1说明g-框架{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}在可逆算子作用下仍为g-框架，下面定理1表明它在余等距算子的作用下仍然是g-框架。
定理1设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的g-框架，且它的下、上框架界分别为A、B，Q：U→U是余等距算子，若Γj=ΛjQ，则{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的g-框架，且框架界分别为A、B。
证明由g-框架的定义知，对∀f∈U有
成立，由此可以得到
又因为
根据余等距算子的定义有‖Q*f‖=f，所以
接下来讨论g-框架{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}在有界算子的作用下仍为g-框架的充分必要条件。
定理2设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的g-框 架，S：U→U是有界算子，则{ΛjS∈L(U，Vj)：j∈J}是g-框架的充分必要条件为，其中α为正常数。
证明必要性：设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的g-框架，其下、上框架界分别为A、B，则对于∀f∈U，有
若g-框架{ΛjS∈L(U，Vj)：j∈J}的框架界为M、N，根据g-框架的定义知对∀f∈U，有
成立，同时可得
因此结合式(2)和式(3)得
故对∀f∈U，取结论成立。
充分性：假设存在α>0，对∀f∈U，满 足，则有
所以{ΛjS∈L(U，Vj)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的g-框架且其框架界为Aα和B‖S‖2。
推论1设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的g-框架且它的下、上框架界为A和B，若S∈L(U)，则{ΛjS∈L(U，Vj)：j∈J}是U关 于{Vj：j∈J}的g-框架当且仅当S是有界满射算子，此时{ΛjS∈L(U，Vj)：j∈J}的框架界为和。
证明若S是有界满射算子，由引理2得知，存在伪逆算子S+使得SS+=IU，故对∀f∈U，有，取，由定理2知结论成立。
定理3设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的两个g-框架，TΛ、TΓ分别为其前框架算子，设S1、S2∈L(U)，若TΛTΓ*=0且S1或S2是满射算子，则{ΛjS1+ΓjS2∈L()U，Vj：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的g-框架。
证明因为{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的两个g-框架，故存在正常数0
成立，又因为TΛTΓ*=0，根据前框架算子的定义，对∀f∈U，有
不失一般性，假设S1是满射算子，由推论1证明过程可知存在常数α，使得对∀f∈U，有，由此可得
所 以{ΛjS1+ΓjS2∈L(U，Vj)：j∈J}是U关 于{Vj：j∈J}的g-框架。
推论2设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的两个Parserval g-框架，且TΛTΓ
*=0，则{Λj+Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U关 于{Vj：j∈J}的框架界为2的Parserval g-框架。
定理4设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的g-Bessel序列，且满足f=Λj f，∀f∈U，则{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}都是U关于{Vj：j∈J}的g-框架。
证明设正数B、D分别为{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}的Bessel界，则对∀f∈U，
设U和X都是Hilbert空间，若，则我们称U⊕X为两个Hilbert空间的直和，此时U⊕X也是Hilbert空间。且定义内积为
设U和X都 是Hilbert空 间，Λj∈L(U，Vj)，Γj∈L(X，Wj)，∀f∈U，∀g∈X，
定理5设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的g-框架，其下、上框架界分别为A和B，{Γj∈L(X，Wj)：j∈J}是X关 于{Wj：j∈J}的g-框架，其下、上框架界分别为C和D，则{Λj⊕Γj∈L(U⊕X，Vj⊕Wj)：j∈J}是g-框架且其框架界为min{A，C}和max{B，D}。当SΛ、SΓ、SΛ⊕Γ分别是Λ、Γ、Λ⊕Γ的框架算子，则SΛ⊕Γ=SΛ⊕SΓ。
证明对∀f∈U，∀g∈X，由式(4)得
由于对∀f∈U，∀g∈X，
定义4设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是g-Bessel序列，当满足对∀f∈U，有
成立，则称{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是交错对偶g-框架。
由交错对偶g-框架的定义，给出g-Bessel序列为交错对偶g-框架的充要条件。
定理6设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是g-Bessel序列，TΛ、TΓ分别为其前框架算子，则{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}为交错对偶g-框架当且仅当TΓTΛ*=I=TΛTΓ*。
证明必要性：设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}为交错对偶g-框架，根据交错对 偶g-框架的定义，可知对∀f∈U，有f=成立。
根据g-框架的前框架算子和分析算子的定义，可以得到
充分性：设TΓTΛ*=I=TΛTΓ*，因为=f，所 以 根 据交错对偶g-框架的定义，{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}为交错对偶g-框架。
定理7设TΓ是{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}的前框架 算 子，{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Φj∈L(U，Vj)：j∈J}都是{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}的交错对偶g-框架，若TΓ*TΓ=I，则 {Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Φj∈L(U，Vj)：j∈J}为交错对偶g-框架。
证明设TΛ、TΦ分别是{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Φj∈L(U，Vj)：j∈J}的前框架算子，则
根据定理6知
又因为TΓ*TΓ=I，所以有
即TΦTΛ*=I=TΛTΦ*。
从而，由定理6可得{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Φj∈L(U，Vj)：j∈J}为交错对偶g-框架。
定理8设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是交错对偶g-框架，则{Λj+Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的g-框架。
证明一方面，设AΛ、BΛ为{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}的g-框架界，AΓ、BΓ为{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}的g-框架界，TΛ、TΓ分别为其前框架算子，因为{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是交错对偶g-框架，由定理6得TΓTΛ*=I，所以对∀f∈U，
即证得{Λj+Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是g-Bessel序列。
另一方面，设{Λj+Γj∈L(U，Vj)：j∈J}的前框架算子为T，则
从而有T=TΛ+TΓ，又因为{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是交错对偶g-框架，根据定理6知TΓTΛ*=I=TΛTΓ*，故对∀f∈U，
显然AΛ+AΓ+2>0，所以{Λj+Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的g-框架。
推论3设{ΛjT1∈L(U，VJ)：j∈J}和{ΓjT2∈L(U，VJ)：j∈J}为交错对偶g-框架，其中T1、T2∈L(U)都为可逆算子，则{ΛjT1+ΓjT2∈L(U，VJ)：j∈J}是U关于{Vj：j∈J}的g-框架。
定理9设{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是交错对偶g-框架，T1、T2∈L(U)都为可逆算子，则{ΛjT1∈L(U，VJ)：j∈J}和{ΓjT2∈L(U，VJ)：j∈J}为交错对偶g-框架当且仅当T1*T2=I=T2*T1。
证明根据引理1可知，{ΛjT1∈L(U，VJ)：j∈J}和{ΓjT2∈L(U，VJ)：j∈J}都为g-框架。
必要性：设{ΛjT1∈L(U，VJ)：j∈J}和{ΓjT2∈L(U，VJ)：j∈J}为交错对偶g-框架，因为{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是交
错对偶g-框架，根据定理6可知对∀f∈U，
即得T2*T1=I；
充分性：设T1*T2=I=T2*T1，则
因为{Λj∈L(U，Vj)：j∈J}和{Γj∈L(U，Vj)：j∈J}是交错对偶g-框架，所以，从而
同理，对∀f∈U，
根据交错对偶g-框架的定义，可知所证结论成立。
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