姜志根 郑荣
摘 要：“双减”背景下，可以通過重组单元作业设计与实践，发展学生的核心素养和关键能力，实现提质减负. 以“利用三个‘一次选择较优方案”单元作业设计为例，在实现学生数学建模初步尝试的同时，望为一线教师提供具有可操作性的单元作业设计思路与基本框架流程.
关键词：核心素养；
单元作业设计；
数学建模
一、设计缘起
《现代汉语词典（第7版）》中，“单元”解释为：整体中自成段落、系统，自为一组的单位（多用于教材、房屋等）. 本文采用王月芬教授在《重构作业——课程视域下的单元作业》中的“单元”概念，即单元一般是指同一主题下相对独立并且自成体系的学习内容. 教师在进行单元划分时，大致有两种分法：一种是以教材的自然章节作为一个单元；
一种是从某个角度（专题、学科核心素养等）出发的重组单元. 单元作业设计，是指教师以单元为基本单位，依据单元目标，以选择重组、改编完善或自主开发等多种形式形成作业的过程.
单元作业，相较于课时作业而言，具有其独特的功能和价值. 例如，有助于从单元整体视角将单元整体培养目标，以及教学、评价、作业、资源等进行系统思考，发挥作业、教学和评价等的协同作用，而不是将作业孤立地进行设计；
以单元为基本单位设计作业，更加培养了教师对学科课程的整体把握和系统设计能力，从而更好地发挥作业对学生发展的促进作用.
笔者通过查阅文献资料等方式，发现教师对课堂作业、课后作业及周末、假期作业等相关研究较多，对单元作业设计研究较少，对重组单元的作业设计研究更少. 个别教辅材料虽然设置了专题单元，但题目难度较大，有些仅是类似问题的简单堆砌，易使学生忽略知识间的结构性和递进性.
二、设计依据
1. 确定单元作业主题
数学单元设计主要依托课程标准，旨在发展学生的数学核心素养.《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）中明确指出，能从具体的生活与科技情境中，抽象出函数、方程、不等式等数学表达形式，用数学的眼光发现问题并提出（或转化为）数学问题，用数学的思维探索、分析和解决具体情境中的现实生活问题，综合运用多个领域的知识，提出设计思路，制订解决方案. 能够在解决问题的过程中选择合适的方法进行评估，并对结果的实际意义作出解释. 能够知道解决问题方法的多样性，具备一定的应用意识和模型意识.
考虑到方程、不等式及函数在初中数学中的重要地位，笔者将方程、不等式及函数的相关内容进行重组，作为一个大单元进行教学. 通过浙教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）七年级上册第五章“一元一次方程”，八年级上册第三章“一元一次不等式”及第五章“一次函数”三章的学习，从知识发展的层级来看，学生对式的认识经历了“数—式—方程—函数”的过程；
从思维发展的层级来看，学生经历了从相等的数量关系到不等的数量关系再到两个变量间的依赖关系的学习过程，即方程和不等式刻画的是特殊情况下的变量关系，函数刻画的是一般状态下的变量关系，从特殊到一般，三者密不可分，如图1所示. 为加强知识之间的横纵联系，笔者在“方程、不等式、函数”这个大单元下，以一元一次方程、一元一次不等式、一次函数（以下统称“三个‘一次”）为主线，引导学生更清晰、更有组织地建立知识网络，最终确定“利用三个‘一次选择较优方案”为单元作业主题.
2. 明确单元作业目标
（1）学情分析.
本单元作业的适用对象是已学完教材八年级上册教学内容的学生. 笔者在设计作业前，先分析了学生的基本学情. 学生对方程、不等式、函数已经有一定的认识，但将知识点进行联系整合、将实际问题数学化，以及将内在关系转化成数量关系的能力较弱；
学生具备一定的逻辑推理能力，但思维的严谨性和全面性不足；
部分学生基础知识较为薄弱，不善于表达自己的观点.
（2）单元内容整体分析.
对单元作业主题所涉及的内容进行整体分析是确定单元作业目标的基础，如图2所示.
三、设计与实施过程
调研结果显示，多数教师认可作业“巩固课堂学习内容”的功能. 这在一定程度上可以表明，作业功能的窄化是导致教师在作业设计时过于关注知识与技能的重要原因. 事实上，作业的确有助于巩固课堂所学的知识与技能，但这不应该是作业的唯一功能. 笔者希望本单元作业还可以培养学生综合运用所学知识与技能解决问题的能力.
本单元作业主要从知识梳理、基础巩固、能力发展3个方面设计了3道题目. 其中，在知识梳理和能力发展两个部分设计了长周期作业.
1. 知识梳理
题目1共3道小题，完成时间为3天.
题目1：（1）通过查阅教材、互联网资料等方式，尝试以思维导图的形式整理、构建“一元一次方程”“一元一次不等式”“一次函数”三章的知识结构.
（2）思考利用三个“一次”解决实际问题的共同点、区别及关键所在.
（3）试结合已有的学习经验，画出利用已学方程、不等式和函数解决实际问题的示意图.
【设计意图】通过归纳、总结三个“一次”知识间的联系与区别，优化学生的整体认知结构，使学生对知识的掌握更加系统和深入. 学生先思考在利用三个“一次”解决问题的过程中有哪些共性、区别和关键点，再通过提取已有经验，回顾利用方程、不等式和函数解决实际问题的路径（如图3），为后续大胆猜想利用其他数学知识解决实际问题的路径作铺垫. 待学生得到后续作业的反馈后，再次进行补充，进一步提升认识.
【作业反馈】学生分别对这三个“一次”章节内容进行知识梳理，如解方程、不等式及利用一次函数解决实际问题的步骤，题目关键词的有效联想，用不同颜色区分出常见实际应用问题的类型等. 这也在一定程度上说明教师在教学过程中较为关注每个知识点的细节问题.学生已有将这三个“一次”联系起来的意识，也具备一定的将特殊（方程和不等式）转化为一般（函数）的意识及数形结合思想. 题目1旨在让学生在原有理解数学的基础上，学会利用思维导图、示意图等表示出已学知识的结构特征及彼此间的联系，使学生内隐的思维外显. 教师在此过程中帮助学生逐步将思维过程建立为有逻辑的体系，从而提升学生对理解数学的认知水平.
2. 基础巩固
题目2：学校准备在元旦期间组织部分学生（约几十人）到衢州某4A级风景区旅游写生. 当地有甲、乙两家旅行社，他们的服务质量基本相同，旅游价格都是每人100元. 经过学校、学生会与旅行社联系协商：甲旅行社表示可给予每位游客8折优惠；
乙旅行社表示学校先交1 000元后，给予每位游客6折优惠.
若你是校学生会成员，你会选择哪家旅行社，使旅游费用较少？
（1）该问题中，_________是常量，_________是变量.
（2）若设参加学生的人数是x人，则甲旅行社所需费用是_________，乙旅行社所需费用是_________.
（3）试用已学过的一元一次方程和一元一次不等式的相关知识，判断选择哪家旅行社能使旅游费用较少.
（4）试用一次函数的相关知识，判断选择哪家旅行社能使旅游费用较少.
【设计意图】通过第（1）小题，让学生在具体问题中识别出常量和变量，并认识到常量和变量不是绝对的，而是相对的. 对于第（2）小题，笔者认为对于部分八年级学生而言，从具体的数到用字母表示数，数式通性仍然是学生认知过程中的一个难点. 第（3）小题和第（4）小题是对方案选择问题的深入探究. 此题中，先引导学生从一元一次方程和一元一次不等式入手，再利用一次函数的图象进行思考，即分别从“数”与“形”两个角度分析问题，体验解决问题方法的多样性. 同时，在学生作出两个一次函数图象过程中，无法得到精确的交点坐标这一困境时，引导学生通过解方程组求出准确的交点坐标，即再次转到“数”，从而使学生体会由“数”到“形”再到“数”的过程，真正感悟数形结合思想.
从字母代数开始，学生将经历用字母表示一般意义的数，方程与不等式中的系数与未知数，以及变量与函数几个层次，这也是从小学阶段的符号意识逐步发展为数学抽象能力的过程. 此环节的设计旨在让学生构建数学符号的几何意义，学会运用数形结合的方法解决问题. 同时，引导学生用函数的观点处理方程、不等式的相关问题，建立所学知识的横纵联系，不断完善认知结构.
【作业反馈】第（1）小题中，只有少数学生认为“学生人数”是常量，“所需费用”是变量，说明学生对变量的理解仍然存在偏差，而这个问题反映出学生对函数的理解不够深刻，更多的是一种模仿学习. 从学生作业的反馈情况来看，大部分学生均能利用方程和不等式解决该问题.
用一元一次方程和一元一次不等式解决题目2，分别涉及等式和不等式的基本性质，属于代数法，而用一次函数解决，既能用代数法，也能用图象法. 但在利用图象法解决问题时，一些学生没有真正理解在同一平面直角坐标系中两个一次函数图象交点的意义. 在画图的过程中，学生有时得不到准确的交点坐标，尤其是当两个一次函数图象交点的横坐标和纵坐标不是整点时，加大了精确地画交点坐标的难度，故教师可以辅助学生利用几何画板等软件找出准确交点，使学生感受信息技术的便捷、直观.
3. 能力提升
题目3共4道小题，在讲评题目2后发放给学生，完成时间为一周.
题目3：“绿水青山就是金山银山”. 近年来，共享单车方便了人们的日常出行. 现有两种共享单车收费方式，如表1所示，试给出更实惠的共享单车方案.
（1）你能用题目2中解决问题的办法，选出更优方案吗？你认为在分析该问题时，怎样结合“数”和“形”，可以更快得到结果呢？
（2）根据已有经验，通过查阅教材、互联网资料等，大胆猜想后续研究“用二次函数解决实际问题”的基本路径.
（3）小组合作，思考在实际选择方案的过程中，还需要考虑哪些因素. 可针对相关问题，给对应平台提出相应建议.
（4）如果你是平台管理者，从“平台利润”及“学生利益”两个角度出发，能否设计出合适的学生通行绿卡呢？
【设计意图】通过第（1）小题及时巩固题目2中用到的方法. 从“形”的角度分析，在同一平面直角坐标系中画出两种共享单车费用分段函数图象（如图4），在有些范围内，可以直接确定更优方案；
从“数”的角度分析，在图象较为复杂区域，利用解方程（组）、不等式等找出精准交点坐标，确定更优方案，进一步感受用数形结合方法解决问题的优势. 通过对题目3的及时评价，多数学生表示可以较快形成解决第（1）小题的思路，但部分学生对分段函数的理解仍然不够透彻. 解决第（2）小题时，学生大胆猜想后续利用二次函数解决实际问题的研究路径（如图5），为后续的类比学习作铺垫. 在实际生活中，学生在选择较优方案的过程中需要考量诸多因素，如共享单车各服务网点离目的地的距离，有无出现安全事故和测评质量分析数据等. 第（4）小题中，转换身份，希望学生既可以基于一定条件作出较优选择，也可以充当决策者的角色，提升學生解决实际问题的能力.
题目2和题目3给出的均是一个非常简单且结构良好的方案选择问题，旨在让学生能从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等数量关系，并能根据实际问题的条件，选择合适的方程、不等式和函数，构建相应的模型解决问题，并能借助信息技术直观感受结果，合理解释其意义，为学生日后完成更高层次的数学建模奠定基础.
【作业反馈】因为第（1）小题与题目2类似，故大部分学生可以独立完成，个别仍有困难的学生在教师和组员的帮助下亦可完成. 八年级学生已经经历过类比角的研究过程“角的定义—表示—分类—性质（角的度量与运算）—特例（特殊关系）”学习三角形的几何研究路径的过程. 当然，对于第（2）小题函数的研究路径的理解，部分学生仍然存在一定的困难，这里不作硬性要求，在平日教学中教师可有意识地渗透并突出一般观念的引领作用. 对于第（3）小题和第（4）小题，学生的答案多样，教师应该充分重视学生的想法，并鼓励、帮助学生从多方面获取真实数据，切实考虑真实情境，从多角度出发进行进一步探索.
四、设计反思与再设计
1. 注意明确问题的指向性和设问的精准性
对于题目1的第（2）小题，其中的行为动词是“思考”. 解决这道题时，学生需要思考到什么程度，思考前后又需要做哪些事情，若问题的指向性不明确和设问的精准性不足，学生的思维就会无序无效. 笔者在作业实施过程中发现，少数学生将第（2）小题的部分想法直接添置在第（1）小题的思维导图中，这也给教师的作业评价造成了一定的困难. 若明确要求学生以填写表格或韦恩图的形式呈现，学生的思考就会有方向. 另外，对于第（3）小题，因为学生平日对解决路径示意图的接触较少，所以将此题放在“知识梳理”部分对学生来说难度较大，改成在第（2）小题讲评后再引导学生总结，也有意识地为学生后续学习和利用二次函数等知识解决实际问题作铺垫.
将题目1的第（2）（3）小题整合如下.
（2）试总结并整理出利用三个“一次”解决实际问题的共同点、区别及关键所在，并完成表2.
2. 重视问题的适切性和数据的真实性
对于题目3的第（3）小题“思考在实际选择方案的过程中，还需要考虑哪些因素？”由于授课班级学生对共享单车的了解较少，因此在布置作业前组织学生观看有关共享单车发展的视频，并提供相关的调研报告供学生参考，尽可能地为学生提供合适的“脚手架”.
题目3的第（1）小题虽然与部分实际贴合，但数据是从习题中获取的. 笔者查询后，发现现有共享单车市场基本是共享单车A，但未覆盖到本地所有区域，共享单车B已被市场淘汰，本土共享单车C家喻户晓. 为了提高问题背景的适切性和基于数学建模中数据的真实性，培养学生收集、处理数据的能力，提升学生的综合能力，将题目3的第（3）小题和第（4）小题调整如下.
调整后的第（3）小题：通过互联网等方式查询共享单车A和共享单车C的收费标准. 若你与朋友在本市内用自行车代步游玩，会选择哪种共享单车？并说明理由.
调整后的第（4）小题：如果你是共享單车C平台的管理者，根据市场需要，既要提高共享单车每小时计费价格获取更高利润，又要控制一定的流失率. 你将如何制定共享单车C的收费标准？
对于第（3）小题，学生查询的共享单车C的计费规则（不得连续租用超过48个小时）如表3所示，查询的共享单车A的计费规则如图6所示. 因共享单车A中单笔订单骑行超过4小时便自动关锁，需重新扫码骑行计费，故后续只比较4个小时内的使用费用.
如图7，学生再次将共享单车A的费用与共享单车C的费用呈现在同一个图中后，发现共享单车C的费用明显低于共享单车A的费用，且共享单车C在前半段的价格优势明显. 当然，学生通过亲身体验，也发现了两种共享单车的不足. 若选择共享单车C骑行，需要到指定地点才可以借还，且借车时要办理银行卡，不是很方便. 若选择共享单车A，骑行不满半小时也要按半小时收费，感觉不太合理；
此外，若扫码骑行一段时间后发现车子是坏的，支付费用只有通过申诉才可以退还.
对于调整的第（4）小题，作业结果显示，大多数学生制定的共享单车C的收费标准较符合实际情况. 如表4和图8，前1个小时内，每半小时按1元计费；
超过1小时，每半个小时按2元计费；
超过3小时至4小时内，均为10元.
学生发现，在1.5小时内（使用单车频率较高的时间段）和3 ～ 4小时，共享单车C的费用低于共享单车A；
在2 ～ 3小时，共享单车C的费用更高；
在1.5 ～ 2小时，两者的价格相同.
本环节的设计旨在让学生感受从小学阶段的数据意识到初中阶段的数据观念再到相对简单的数据分析，是一个从定性描述逐步过渡到定量分析的过程，加深学生对数据及其意义的理解，使学生认识到数据的来源与真实性对解决问题的重要作用，学会依据数据特征选择合适的统计图表，直观感受数据的变化趋势等，并能结合实际问题与数据分析的结果，作出合理的解释，并根据实际需求作出相应决策.
五、实施建议与评价
本单元作业设计是在完成八年级上册教学内容后着手布置实施的，从知识梳理、基础巩固、能力发展3个方面设计了3道题目. 其中，“知识梳理”环节引导学生自主梳理知识，关注知识间的横纵联系，旨在让学生自我建构知识体系，完善认知结构，提高对知识的整体认知水平，系统思考“一元一次方程”“一元一次不等式”“一次函数”三章内容内在的逻辑结构与联系，从“点状”到“整体”，防止知识零散、孤立而独立的存在. 这几道题没有标准答案，在学生独立完成后，鼓励学生或小组间相互比较、分析、评价，再进行进一步的补充和完善. 特别是对学困生，不要求作业面面俱到，但要求保留补充完善的痕迹. 继而结合教材八年级上册第五章“一次函数”的课题学习“怎样选择较优方案”，再布置一道“基础巩固”作业，让学生通过思考练习，掌握多点结构水平和关联结构水平问题，以及解决一类问题的通性通法. 为减轻学生的作业量，在此环节，教师要对该部分的问题设计进行有效筛选，以《标准》中的学业质量标准为基本依据，尽力实现“教—学—评”的一致性，给予学生站在更高或不同的角度进一步审视数学的机会. 教师要对学生提交的作业进行批改，统计、分析并明确“病因”，对存在共性错误的问题实施统一讲评，讲评时注重师生互动. 对个别学生给予个性化指导，鼓励学生自主发现问题、解决问题，亦可选取合适的变式练习巩固或帮助其进行二次梳理.
数学源于现实生活，是对现实生活的二次抽象. 因此，增强数学与现实生活的联系，让学生切身感受数学的综合应用价值，有助于学生关键能力、必备品格和价值观念的发展. 教师在对“基础巩固”题讲评后，鼓励学生完成“能力提升”作业. 在题目的条件和结论设置上力求开放，以满足不同层次学生对解决问题成就感的获得. 同时，该部分不应该过分追求完整，应该注重作业的可行性及学生在做作业过程中的思维可见性. 此环节设计了学生独立思考、小组合作、课堂展示、交流反思等活动，通过生生互评、师生点评的方式，不仅评价了学生“知道什么”，更重要的是评价了学生“做了什么，思考了什么，能力水平进阶到什么层次”等. 如果教师只注重作业布置，忽视作业评价，就会舍本逐末，有违“双减”初衷．
六、总结与进一步研究
本节课的单元作业设计基本流程如图9所示.
笔者认为，依靠集体智慧设计出一份较好的单元作业设计并不难，难的是如何做到可持续性. 正如通过有限次的合作学习过程，真正达到使学生学会倾听、反思、质疑的目的，是令人怀疑的. 望日后可以在单元作业设计的过程中，总结经验，不断实践反思，探索出可操作性更强的作业设计路径.
参考文献：
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