李晓岚,郭英佳
(北华大学 数学与统计学院,吉林 吉林 132013)
通过研究传染病传播模型的动力学行为,分析疾病流行的过程、影响因素以及未来的发展趋势,可更合理地制定防控策略,以减少传染病的传播途径.Kermack等[1]建立了SIR仓室模型,并得到广泛应用.目前,流行病学的数学模型大多数将人群分为易感者、潜伏者、染病者和恢复者4个仓室.而在大规模传染病爆发时,隔离也成为传染病防控的重要措施之一.因此,具有隔离的传染病模型动力学行为目前已得到广泛关注[2-4].
根据文献[4],总人口N(t)可分为易感者S(t)、潜伏者E(t)、感染者I(t)、隔离者Q(t)和恢复者R(t) 5个仓室.基于此,文献[5]提出了一类确定性SEIQR传染病模型:
(1)
其中t表示时间,正常数A表示单位时间内因出生和移民而进入易感人群S的数量,β表示易感人群在接触感染者后进入潜伏期的比例,ε表示潜伏期的发病率,γ和ω分别表示从I类和Q类人群的移除率,δ表示隔离强度,d表示自然死亡率,α1,α2,α3分别表示E类、I类、Q类人群的因病死亡率.文献[6]研究了确定性SEIQR传染病模型(1)的动力学行为,得到以下结论:
由于传染病模型会受许多不可预测的环境噪声影响[5,7-8],因此,在确定性传染病模型中加入随机干扰因素能更准确地反映传染病的实际传播规律.文献[6]在确定性SEIQR传染病模型(1)中加入白噪声干扰因素,研究了一类随机SEIQR传染病模型的动力学行为.但噪声不只是连续的,还存在不连续的波动,特别是对传播速度快、影响面广、危害性大的传染病,可考虑用带Lévy跳的随机SEIQR模型刻画疾病的传播规律.基于此,本文建立并讨论一类由Lévy噪声驱动的随机SEIQR传染病模型:
(2)
下面利用Lyapunov分析法,证明系统(2)存在唯一的全局正解.首先对跳扩散系数做如下假设: 假设对每个c>0,均存在Lc>0,使得:
F1(x,u)=D1(u)S(t),F2(x,u)=D2(u)E(t),F3(x,u)=D3(u)I(t),
F4(x,u)=D4(u)Q(t),F5(x,u)=D5(u)R(t), |x|∨|y|≤c;
(H2) |ln(1+Di(u))| P{τm≤M}≥ε0. 其中a是正常数.显然函数V(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t))具有非负性,根据It公式,有 其中 取a=(d+α2)/β,使得aβ-(d+α2)=0.令 则有 结合式(4),对式(3)两端从0到τm∧M积分并取期望,有 令Ωm={τm|τm≤M,m>m′},则有P(Ωm)≥ε0.对每个ω∈Ωm,S(τm,ω),E(τm,ω),I(τm,ω),Q(τm,ω),R(τm,ω)中至少有一个等于m或者1/m,因此 从而 这里IΩm是Ωm的示性函数.令m→∞,则有 ∞>V(S(0),E(0),I(0),Q(0),R(0))+KM=∞, 矛盾,因此假设不成立,从而τ∞=∞ a.s.于是(S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t))在有限时间内不会爆破,系统(2)存在唯一的全局正解.证毕. 当基本再生数R0<1时,确定性SEIQR传染病模型存在全局渐近稳定的无病平衡点P0=(A/d,0,0,0,0).下面讨论随机系统(2)的解在P0点附近的渐近行为,并分析随机噪声强度对解渐近性质的影响. 定理3假设条件(H1)和(H2)成立,如果R0≤1,且满足 其中 V(S,E,I,Q,R)=a1V1(S,E,I)+a2V2(I,Q)+V3(S,E,R), 其中 对式(5)两端从0～t积分并取数学期望,有 因此 证毕. 注1定理3表明,在某些假设条件下,系统(2)的解围绕无病平衡点P0振动,振动强度与噪声强度σi和Di(i=1,2,…,5)有关,且σi和Di的值越小,振动越弱,即随机干扰越小,系统(2)的解越接近确定性SEIQR模型的无病平衡点P0,此时疾病会逐渐消失. 定理4假设条件(H1)和(H2)成立,如果R0>1且满足 (6) 其中 (7) 证明: 当基本再生数R0>1时,确定性的SEIQR模型存在地方病平衡点P*(S*,E*,I*,Q*,R*),且满足 A-βSI*-dS*=0,βS*I*-(ε+d+α1)E*=0,εE*-(δ+γ+d+α2)I*=0, δI*-(ω+d+α3)Q*=0,γI*+ωQ*-dR*=0. 分别定义函数 其中b3=ω+d+α3.令b1=ε+d+α1,b2=γ+δ+d+α2,根据It公式,有 构造Lyapunov函数V=V1+V2+V3+V4,则 对式(10)两端从0到t积分再取期望,有 (11) 证毕. 注2定理4表明,在某些假设条件下,系统(2)的解在P*附近振荡,且振动的强度与噪声强度有关.分析式(11)可知,σi和Di(i=1,2,…,5)的值越小,系统(2)的解越接近地方病平衡点P*(S*,E*,I*,Q*,R*),此时疾病会持续.
3.1 无病平衡点P0处的渐近行为
3.2 地方病平衡点P*处的渐近行为
