沈秀兰
（韶州中学，广东 韶关 512026）
含参不等式恒成立问题是高中数学的重要内容，也是高考的重要考点，在往年的高考试题中，可以是单独的知识点考查，也可以是与函数、方程等进行整合的综合考查，对学生数学抽象、逻辑推理等素养要求较高，学生在学习过程中存在难度。为此进行的教学微设计融合深度学习的理念，从宏观上整体把握，精心设计教学内容，通过对含参不等式恒成立的相关问题以及解题方法、策略和技巧的研究，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想像，数学运算等核心素养，同时为含参不等式恒成立问题的教与学提供参考。
《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》教学建议指出，教学目标制定要突出数学学科核心素养，要结合特定教学任务，思考相应数学学科核心素养在教学中的孕育点、生长点；
要关注数学学科核心素养目标在教学中的可实现性，研究其融入教学内容和教学过程的具体方式及载体［1］。
《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》学业水平考试与高考命题说明指出，对于知识与技能，要关注能够承载相应数学学科核心素养的知识、技能……；
在命题中，需突出内容主线和反应数学本质的核心概念、主要结论、通性通法、数学应用和实际应用，应特别关注数学学习过程中思维品质的形成，关注学生会学数学的能力［1］。
纵观对于深度学习的研究可以发现，深度学习通常有两个相关因素：一是真实情境，二是复杂技术环境。在此基础上，深度学习可从以下几个方面来理解：一是深度学习是问题意识驱动下的主动学习；
二是深度学习是联系、融合、建构、应用、迁移、反思等思维活动作用下的具有实践性与批判性的学习活动；
三是深度学习应当从学习科学的角度去进行；
四是深度学习并不排斥浅层学习，深度学习是浅层学习的深化。
依据以上教学建议和命题说明以及深度学习的相关理论，以“含参不等式恒成立问题”为例，试析基于深度学习的“含参不等式恒成立问题”的教与学。
（一）梳理基础题型，掌握基本方法
我们先通过二次函数型不等式恒成立问题梳理基本方法［2-4］。
1. 形如f（x）≥0（x∈R）确定参数的范围
例题1∀x∈R，是否存在实数m使得mx2-2x-m+1＜0恒成立？若存在，求出m的取值范围；
若不存在，请说明理由。
分析：x2的系数含参数，需对x2的系数是否为0进行分类讨论。
解：不存在，理由如下：要使不等式mx2-2x-m+1＜0恒成立，即函数f（x）=mx2-2x-m+1的图象都 在x轴 下 方。当m=0时，-2x+1＜0，则不符合题意；
当m≠0时，函数f（x）=mx2-2x-m+1为二次函数，则，不等式组无解。综上所述，不存在满足题意的m。
方法梳理：分类讨论。
2. 形如f（x）≥0（x∈［a，b］）确定参数的范围
例题 2已知函数f（x）=-x2+2x+b2-b+1（a，b∈R），当x∈［-1，1］时，f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是（ ）。
A.（-1，0） B.（2，+∞）
C.（-∞，-1）∪（2，+∞） D.（-∞，-1）
分析：一元二次不等式恒大于0等价于对应二次函数图形在给定的区间上全部在x轴上方，可作出对应二次函数的图形，从开口方向、对称轴，判别式和端点值符号的角度进行考虑。
解：函数f（x）的图象如图1所示，开口向下，对称轴为x=1，所以函数在［-1，1］单调递增，当x∈［-1，1］时，f（x）＞0 恒 成 立，所 以f（x）min=f（-1）=b2-b-2＞0，得b＜-1 或b＞2，故选 C。
图1 函数f（x）的图象
方法梳理：数形结合、函数最值。
3. 形如f（x）＞0（参数m∈［a，b］）确定x的范围
例题3函数f（x）=mx2-mx-1，当|m|≤1时，求使f（x）＜0恒成立的x取值范围。
分析：本题已知的是m范围，应把m看成主元，所求的x看成参数。即构造以参数m为变量的函数，将问题等价转化为关于m的一次函数，再根据m的取值范围列式求解x的范围。
解：将不等式mx2-mx-1＜0变形得关于m的不 等 式（x2-x）m-1＜0，令 g（m）=（x2-x）m-1，m∈［-1，1］，则即解得即x取值范围为
方法梳理：等价转化。
通过以上题型，得出解决不等式恒成立问题的基本方法主要有分类讨论、数形结合、等价转化。题型设置由易到难，符合学生的认知规律。在教学过程中，注意引导学生独立思考、自主学习、小组合作交流，激发学生学习数学的兴趣。
（二）感悟高考真题，培养高阶思维
高考是为选拔人才的考试，注重考查分析问题、解决问题的能力的探索题、综合题是高考的热点和重点之一。含参不等式恒成立问题在高考中多以中高档题出现，且与其他知识点联系较广，下面来探讨两道高考题。
例题4（2019全国卷Ⅱ）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1］时，f（x）=x（x-1），若对任意x∈（-∞，m］，都有则m的取值范围是（ ）。
可作出f（x）的图象，如图2所示。
图2 f（x）的图象
方法梳理：数形结合、等价转化。
归纳总结：本题利用数学结合的思想，通过画出图象分析，要得时对应x的取值，需令4（x-2）解得，并结合图象找出m的取值范围。
例题5（2020全国卷Ⅰ）已知函数f（x）=ex+ax2-x当x≥0 时，x3+1，求a的取值范围。
方法梳理：分类讨论、分离参数、等价转化、函数最值。
归纳总结：本题在分类讨论第二种情况中，采用分离参数，将参数变换到等式左边，含变量的式子变换到等式右边，这样就将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题。而求函数的最值可以通过导数、基本不等式、数形结合等方法完成。
通过对以上两道高考试题的分析以及求解过程的探讨，发现含参不等式恒成立问题的高考试题具有以下特点：（1）含参不等式恒成立问题通常与函数知识联系起来考察，可通过作图、求导等方法判别函数的单调性、最值等，再通过解不等式的方式解决问题。（2）在新课改后，含参不等式恒成立问题综合性更强了，一道题可能用到几种方法策略，这就要求我们对含参不等式恒成立问题的解题方法策略有整体的把握，以便在解题的过程中能更快地运用合理、正确、高效的解题技巧。教学过程中，多鼓励学生，通过将解题步骤细化成小问题，帮助学生深入思考、层层递进，帮助学生获得“四基”，增强克服困难的信心和毅力。
（三）促成深度学习，提升核心素养
通过以上例题分析与总结，对不等式恒成立问题的解题策略有了更全面的了解，接着我们试着解决双参不等式恒成立问题。
例题 6已知二次函数f（x）=-x2-4x，若对任意x∈（0，+∞），总存在m∈［1，2］，使不等式-f（x）≤mx2+nx+4成立，求n的取值范围。
解：对任意x∈（0，+∞），总存在m∈［1，2］，使不等式-f（x）≤mx2+nx+4成立，等价于任意x∈（0，+∞），总存在m∈［1，2］，（m-1）x2+（n-4）x+4≥0恒成立。
当m=1时，当n≥4时，不等式成立；
当m≠1时，（m-1）x2+（n-4）x+4≥0为二次不等式。
设g（x）=（m-1）x2+（n-4）x+4，因 为m∈［1，2］，所以函数g（x）图象抛物线开口向上，过点（0，4）：
图3 抛物线图（1）
图4 抛物线图（2）
方法梳理：分类讨论、数形结合、等价转化、函数最值。
例题 7已知函数f（x）=x4-4x3+4x2-1，m∈［-6，-2］，若f（x）≤mx3+2x2-n在x∈［-1，1］上恒成立，求实数n的取值范围。
解：由f（x）≤mx3+2x2-n在x∈［-1，1］上恒成立，可得x4-（4+m）x3+2x2+n-1≤0恒成立。
设F（x）=x4-（4+m）x3+2x2+n-1，则F（x）≤0恒成立，等价于F（x）max≤0。F"（x）=4x3-3（4+m）x2+4x=x（4x2-3（4+m）x+4），设g（x）=4x2-3（4+m）x+4。因为-6≤m≤-2，所以-2≤m+4≤2，判别式Δ=9（4+m）2-64＜0，所以g（x）=4x2-3（4+m）x+4＞0，
（1）若F"（x）＞0 得x＞0，F（x）在（0，1］上单调递增，［F（x）］max=F（1）≤0，所以n≤m+2恒成立，即n≤（m+2）min=-6+2=-4，
（2）若F"（x）＜0 得x＜0，F（x）在［-1，0］上单调递减，［F（x）］max=F（0）≤0，所以n-1≤0恒成立，即n≤1。
综上所述，n的取值范围是（-∞，-4］。
方法梳理：等价转化、分类讨论、函数最值。
归纳总结：这两道双参不等式恒成立问题，解题过程都是将不等式恒成立问题转化为求带参函数的最值问题，通过数形结合或者导数的方法，找出相应带参函数的最值，再等价转化为不等式“能”成立或者“恒”成立问题。
双参不等式恒成立问题对于高中生难度不小，需有较强的逻辑推理能力。在教与学的过程中应积极树立“以学生为主体”的教学形式，通过小组合作，发挥小组成员的共同智慧，探究解题思路与方法，让学生充分体验学习的过程，开展深度学习。学生在此过程中不只注意问题的结论，更关注知识的推理过程，他们的思维在体验的过程中得到发展，情感在体验的过程中得到释放，学习的过程成为一个获得基本活动经验的过程，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
（四）总结常规方法，构建解题策略
解决含参不等式恒成立问题，通过以上例题的分析，梳理出以下几种常用的方法，形成解题策略，如图5。
图5 不等式恒成立问题解题策略
1.分类讨论。分类讨论是在给出的不等式中，如果不能直接恒等变形，针对已知条件存在多种可能出现的情况，就可以采用分类讨论的方式，需要注意的是，要充分考虑到可能出现的各种情况，保证讨论的完整性和全面性，做到不重不漏。
2.数形结合。数形结合在高中数学中的应用比较广泛，特别是含有初等函数型的不等式恒成立问题，通常可以作出该函数的图象，通过数形结合进行综合分析，找出函数的最值，或是满足题意的等价结论。
3.等价转化。等价转化思想，就是在研究和解决数学问题时，借助某类函数的图象、性质，或者已经掌握的公式、定理，又或是已知条件等将问题等价转化，进而达到解决问题的思路。这种数学思路总是将抽象转化为具体、复杂转化为简单、未知转化为已知，从而达到迅速找到解决的途径和方法。
4.分离参数。分离参数就是将参数和变量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况用函数观点讨论主变量的变化情况，确定新函数的最值，由此确定参数的范围。
通过对前面含参不等式恒成立问题的分析，我们已经掌握了基本的方法和策略，但是在使用的过程中，容易受到一些题目条件的影响，解题结果出现错误，我们要及时反思总结，避免在做类似题目的过程中出现会而不对。
下面列举几种常见的错误：
（一）原理性错误
在使用最值法时，f（x）≥c恒成立⇔f（x）min≥c，f（x）≤c恒成立 ⇔f（x）max≤c，但如果不等式右边也含有变量时，如不等式f（x）≥g（x）恒成立，很多同学容易得出f（x）≥g（x）恒成立⇔f（x）min≥g（x）max的 错 误 结 论，实 际 上f（x）≥g（x）恒成立 ⇔［f（x）-g（x）］min≥0。
（二）混淆“恒”成立与“能”成立问题
含参不等式恒成立问题形式多样，方法灵活多变，解题技巧性强。通过对含参不等式恒成立问题的深度学习，系统地掌握含参不等式恒成立问题的解题方法和策略，便可以不变应万变，在解题过程中，根据具体的题设条件、认真观察题目中不等式的结构特征，从不同的角度，不同的方向加以分析探讨，选择适当的方法快速准确地解决问题。
学生通过对“含参不等式恒成立问题”这个专题的学习和探讨，增强了学好数学的自信心，发展了自主学习的能力，树立了敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神。使教学向立德树人、提升素养的总目标又迈进了一步。
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